Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10449 / 2539
↖ ↑ ↗
← N 76.945452°
E 49.592285°		 ← 551.87 m → N 76.945452°
E 49.614258°		 →
↑
551.98 m
↓
↑
551.98 m
↓
N 76.940488°
E 49.592285°		 ← 552.08 m →
304 680 m²		 N 76.940488°
E 49.614258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637786865234375 y=0.154998779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637786865234375 × 214)
    floor (0.637786865234375 × 16384)
    floor (10449.5)     		tx = 10449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154998779296875 × 214)
    floor (0.154998779296875 × 16384)
    floor (2539.5)     		ty = 2539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10449 / 2539 ti = "14/10449/2539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10449/2539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10449 ÷ 214
    10449 ÷ 16384     		x = 0.63775634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2539 ÷ 214
    2539 ÷ 16384     		y = 0.15496826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63775634765625 × 2 - 1) × π
    0.2755126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86554866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15496826171875 × 2 - 1) × π
    0.6900634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16789834841742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86554866} λ = 0.86554866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16789834841742))-π/2
    2×atan(8.73989650808752)-π/2
    2×1.45687390842241-π/2
    2.91374781684482-1.57079632675     		φ = 1.34295149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86554866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.592285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34295149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.945452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10449 KachelY 2539 0.86554866 1.34295149 49.592285 76.945452
    Oben rechts KachelX + 1 10450 KachelY 2539 0.86593215 1.34295149 49.614258 76.945452
    Unten links KachelX 10449 KachelY + 1 2540 0.86554866 1.34286485 49.592285 76.940488
    Unten rechts KachelX + 1 10450 KachelY + 1 2540 0.86593215 1.34286485 49.614258 76.940488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34295149-1.34286485) × R
    8.66399999999157e-05 × 6371000     		dl = 551.983439999463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34295149-1.34286485) × R
    8.66399999999157e-05 × 6371000     		dr = 551.983439999463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86554866-0.86593215) × cos(1.34295149) × R
    0.000383490000000042 × 0.225878585724412 × 6371000     		do = 551.869901386227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86554866-0.86593215) × cos(1.34286485) × R
    0.000383490000000042 × 0.225962985705773 × 6371000     		du = 552.076108668963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34295149)-sin(1.34286485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225878585724412-0.225962985705773)×R²
    abs(0.86593215-0.86554866)×8.43999813606722e-05×R²
    0.000383490000000042×8.43999813606722e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.43999813606722e-05×40589641000000     		ar = 304679.958292084m²