Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10442 / 2587
↖ ↑ ↗
← N 76.705073°
E 49.438476°		 ← 561.87 m → N 76.705073°
E 49.460449°		 →
↑
561.99 m
↓
↑
561.99 m
↓
N 76.700019°
E 49.438476°		 ← 562.07 m →
315 819 m²		 N 76.700019°
E 49.460449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637359619140625 y=0.157928466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637359619140625 × 214)
    floor (0.637359619140625 × 16384)
    floor (10442.5)     		tx = 10442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157928466796875 × 214)
    floor (0.157928466796875 × 16384)
    floor (2587.5)     		ty = 2587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10442 / 2587 ti = "14/10442/2587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10442/2587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10442 ÷ 214
    10442 ÷ 16384     		x = 0.6373291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2587 ÷ 214
    2587 ÷ 16384     		y = 0.15789794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6373291015625 × 2 - 1) × π
    0.274658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86286419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15789794921875 × 2 - 1) × π
    0.6842041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14949057896332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86286419} λ = 0.86286419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14949057896332))-π/2
    2×atan(8.58048620345172)-π/2
    2×1.45477620217508-π/2
    2.90955240435017-1.57079632675     		φ = 1.33875608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86286419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.438476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33875608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.705073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10442 KachelY 2587 0.86286419 1.33875608 49.438476 76.705073
    Oben rechts KachelX + 1 10443 KachelY 2587 0.86324769 1.33875608 49.460449 76.705073
    Unten links KachelX 10442 KachelY + 1 2588 0.86286419 1.33866787 49.438476 76.700019
    Unten rechts KachelX + 1 10443 KachelY + 1 2588 0.86324769 1.33866787 49.460449 76.700019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33875608-1.33866787) × R
    8.8209999999922e-05 × 6371000     		dl = 561.985909999503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33875608-1.33866787) × R
    8.8209999999922e-05 × 6371000     		dr = 561.985909999503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86286419-0.86324769) × cos(1.33875608) × R
    0.000383499999999981 × 0.229963567408462 × 6371000     		do = 561.865040032369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86286419-0.86324769) × cos(1.33866787) × R
    0.000383499999999981 × 0.230049412418498 × 6371000     		du = 562.074783299722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33875608)-sin(1.33866787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229963567408462-0.230049412418498)×R²
    abs(0.86324769-0.86286419)×8.58450100360564e-05×R²
    0.000383499999999981×8.58450100360564e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.58450100360564e-05×40589641000000     		ar = 315819.172404586m²