Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10440 / 2583
↖ ↑ ↗
← N 76.725269°
E 49.394531°		 ← 561.03 m → N 76.725269°
E 49.416504°		 →
↑
561.09 m
↓
↑
561.09 m
↓
N 76.720223°
E 49.394531°		 ← 561.24 m →
314 848 m²		 N 76.720223°
E 49.416504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637237548828125 y=0.157684326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637237548828125 × 214)
    floor (0.637237548828125 × 16384)
    floor (10440.5)     		tx = 10440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157684326171875 × 214)
    floor (0.157684326171875 × 16384)
    floor (2583.5)     		ty = 2583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10440 / 2583 ti = "14/10440/2583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10440/2583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10440 ÷ 214
    10440 ÷ 16384     		x = 0.63720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2583 ÷ 214
    2583 ÷ 16384     		y = 0.15765380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63720703125 × 2 - 1) × π
    0.2744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86209720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15765380859375 × 2 - 1) × π
    0.6846923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15102455975116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86209720} λ = 0.86209720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15102455975116))-π/2
    2×atan(8.59365860496058)-π/2
    2×1.4549524504299-π/2
    2.90990490085981-1.57079632675     		φ = 1.33910857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86209720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.394531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33910857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.725269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10440 KachelY 2583 0.86209720 1.33910857 49.394531 76.725269
    Oben rechts KachelX + 1 10441 KachelY 2583 0.86248070 1.33910857 49.416504 76.725269
    Unten links KachelX 10440 KachelY + 1 2584 0.86209720 1.33902050 49.394531 76.720223
    Unten rechts KachelX + 1 10441 KachelY + 1 2584 0.86248070 1.33902050 49.416504 76.720223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33910857-1.33902050) × R
    8.80700000001067e-05 × 6371000     		dl = 561.09397000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33910857-1.33902050) × R
    8.80700000001067e-05 × 6371000     		dr = 561.09397000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86209720-0.86248070) × cos(1.33910857) × R
    0.000383499999999981 × 0.22962051012962 × 6371000     		do = 561.026855558705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86209720-0.86248070) × cos(1.33902050) × R
    0.000383499999999981 × 0.229706226029548 × 6371000     		du = 561.236283374108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33910857)-sin(1.33902050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22962051012962-0.229706226029548)×R²
    abs(0.86248070-0.86209720)×8.57158999283125e-05×R²
    0.000383499999999981×8.57158999283125e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.57158999283125e-05×40589641000000     		ar = 314847.540207597m²