Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104376 / 99513
↖ ↑ ↗
← S 67.801982°
E106.677246°		 ← 115.39 m → S 67.801982°
E106.679993°		 →
↑
115.38 m
↓
↑
115.38 m
↓
S 67.803019°
E106.677246°		 ← 115.39 m →
13 314 m²		 S 67.803019°
E106.679993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.796329498291016 y=0.759227752685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.796329498291016 × 217)
    floor (0.796329498291016 × 131072)
    floor (104376.5)     		tx = 104376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759227752685547 × 217)
    floor (0.759227752685547 × 131072)
    floor (99513.5)     		ty = 99513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104376 / 99513 ti = "17/104376/99513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104376/99513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104376 ÷ 217
    104376 ÷ 131072     		x = 0.79632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99513 ÷ 217
    99513 ÷ 131072     		y = 0.759223937988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79632568359375 × 2 - 1) × π
    0.5926513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.86186918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759223937988281 × 2 - 1) × π
    -0.518447875976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.62875203839065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.86186918} λ = 1.86186918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62875203839065))-π/2
    2×atan(0.196174239348204)-π/2
    2×0.193714252032546-π/2
    0.387428504065092-1.57079632675     		φ = -1.18336782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.86186918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.677246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18336782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.801982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104376 KachelY 99513 1.86186918 -1.18336782 106.677246 -67.801982
    Oben rechts KachelX + 1 104377 KachelY 99513 1.86191712 -1.18336782 106.679993 -67.801982
    Unten links KachelX 104376 KachelY + 1 99514 1.86186918 -1.18338593 106.677246 -67.803019
    Unten rechts KachelX + 1 104377 KachelY + 1 99514 1.86191712 -1.18338593 106.679993 -67.803019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18336782--1.18338593) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dl = 115.378810000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18336782--1.18338593) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dr = 115.378810000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.86186918-1.86191712) × cos(-1.18336782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377808763369672 × 6371000     		do = 115.392521130591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.86186918-1.86191712) × cos(-1.18338593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377791995554767 × 6371000     		du = 115.387399808316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18336782)-sin(-1.18338593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377808763369672-0.377791995554767)×R²
    abs(1.86191712-1.86186918)×1.67678149047279e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67678149047279e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67678149047279e-05×40589641000000     		ar = 13313.5563254332m²