Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104370 / 99471
↖ ↑ ↗
← S 67.758358°
E106.660767°		 ← 115.61 m → S 67.758358°
E106.663513°		 →
↑
115.63 m
↓
↑
115.63 m
↓
S 67.759398°
E106.660767°		 ← 115.60 m →
13 368 m²		 S 67.759398°
E106.663513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.796283721923828 y=0.758907318115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.796283721923828 × 217)
    floor (0.796283721923828 × 131072)
    floor (104370.5)     		tx = 104370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758907318115234 × 217)
    floor (0.758907318115234 × 131072)
    floor (99471.5)     		ty = 99471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104370 / 99471 ti = "17/104370/99471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104370/99471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104370 ÷ 217
    104370 ÷ 131072     		x = 0.796279907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99471 ÷ 217
    99471 ÷ 131072     		y = 0.758903503417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.796279907226562 × 2 - 1) × π
    0.592559814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.86158156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758903503417969 × 2 - 1) × π
    -0.517807006835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.62673868860661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.86158156} λ = 1.86158156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62673868860661))-π/2
    2×atan(0.196569604581331)-π/2
    2×0.194094937302073-π/2
    0.388189874604147-1.57079632675     		φ = -1.18260645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.86158156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.660767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18260645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.758358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104370 KachelY 99471 1.86158156 -1.18260645 106.660767 -67.758358
    Oben rechts KachelX + 1 104371 KachelY 99471 1.86162950 -1.18260645 106.663513 -67.758358
    Unten links KachelX 104370 KachelY + 1 99472 1.86158156 -1.18262460 106.660767 -67.759398
    Unten rechts KachelX + 1 104371 KachelY + 1 99472 1.86162950 -1.18262460 106.663513 -67.759398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18260645--1.18262460) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dl = 115.633650000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18260645--1.18262460) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dr = 115.633650000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.86158156-1.86162950) × cos(-1.18260645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37851359383332 × 6371000     		do = 115.607794496525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.86158156-1.86162950) × cos(-1.18262460) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378496794208438 × 6371000     		du = 115.602663458664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18260645)-sin(-1.18262460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37851359383332-0.378496794208438)×R²
    abs(1.86162950-1.86158156)×1.67996248822133e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67996248822133e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67996248822133e-05×40589641000000     		ar = 13367.8545861467m²