Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10437 / 2581
↖ ↑ ↗
← N 76.735357°
E 49.328613°		 ← 560.59 m → N 76.735357°
E 49.350586°		 →
↑
560.71 m
↓
↑
560.71 m
↓
N 76.730314°
E 49.328613°		 ← 560.80 m →
314 390 m²		 N 76.730314°
E 49.350586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637054443359375 y=0.157562255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637054443359375 × 214)
    floor (0.637054443359375 × 16384)
    floor (10437.5)     		tx = 10437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157562255859375 × 214)
    floor (0.157562255859375 × 16384)
    floor (2581.5)     		ty = 2581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10437 / 2581 ti = "14/10437/2581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10437/2581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10437 ÷ 214
    10437 ÷ 16384     		x = 0.63702392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2581 ÷ 214
    2581 ÷ 16384     		y = 0.15753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63702392578125 × 2 - 1) × π
    0.2740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86094672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15753173828125 × 2 - 1) × π
    0.6849365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15179155014508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86094672} λ = 0.86094672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15179155014508))-π/2
    2×atan(8.60025238691968)-π/2
    2×1.45504047593123-π/2
    2.91008095186247-1.57079632675     		φ = 1.33928463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86094672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.328613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33928463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.735357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10437 KachelY 2581 0.86094672 1.33928463 49.328613 76.735357
    Oben rechts KachelX + 1 10438 KachelY 2581 0.86133021 1.33928463 49.350586 76.735357
    Unten links KachelX 10437 KachelY + 1 2582 0.86094672 1.33919662 49.328613 76.730314
    Unten rechts KachelX + 1 10438 KachelY + 1 2582 0.86133021 1.33919662 49.350586 76.730314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33928463-1.33919662) × R
    8.80100000000272e-05 × 6371000     		dl = 560.711710000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33928463-1.33919662) × R
    8.80100000000272e-05 × 6371000     		dr = 560.711710000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86094672-0.86133021) × cos(1.33928463) × R
    0.000383489999999931 × 0.229449150853047 × 6371000     		do = 560.593558917005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86094672-0.86133021) × cos(1.33919662) × R
    0.000383489999999931 × 0.22953481191469 × 6371000     		du = 560.802847289737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33928463)-sin(1.33919662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229449150853047-0.22953481191469)×R²
    abs(0.86133021-0.86094672)×8.56610616423448e-05×R²
    0.000383489999999931×8.56610616423448e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.56610616423448e-05×40589641000000     		ar = 314390.04845866m²