Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104367 / 98061
↖ ↑ ↗
← S 66.245844°
E106.652527°		 ← 123.03 m → S 66.245844°
E106.655274°		 →
↑
123.02 m
↓
↑
123.02 m
↓
S 66.246951°
E106.652527°		 ← 123.02 m →
15 135 m²		 S 66.246951°
E106.655274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.796260833740234 y=0.748149871826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.796260833740234 × 217)
    floor (0.796260833740234 × 131072)
    floor (104367.5)     		tx = 104367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748149871826172 × 217)
    floor (0.748149871826172 × 131072)
    floor (98061.5)     		ty = 98061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104367 / 98061 ti = "17/104367/98061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104367/98061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104367 ÷ 217
    104367 ÷ 131072     		x = 0.796257019042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98061 ÷ 217
    98061 ÷ 131072     		y = 0.748146057128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.796257019042969 × 2 - 1) × π
    0.592514038085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.86143775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748146057128906 × 2 - 1) × π
    -0.496292114257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.55914766014233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.86143775} λ = 1.86143775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55914766014233))-π/2
    2×atan(0.210315254901641)-π/2
    2×0.207294114441905-π/2
    0.41458822888381-1.57079632675     		φ = -1.15620810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.86143775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.652527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15620810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.245844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104367 KachelY 98061 1.86143775 -1.15620810 106.652527 -66.245844
    Oben rechts KachelX + 1 104368 KachelY 98061 1.86148569 -1.15620810 106.655274 -66.245844
    Unten links KachelX 104367 KachelY + 1 98062 1.86143775 -1.15622741 106.652527 -66.246951
    Unten rechts KachelX + 1 104368 KachelY + 1 98062 1.86148569 -1.15622741 106.655274 -66.246951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15620810--1.15622741) × R
    1.93100000001056e-05 × 6371000     		dl = 123.024010000673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15620810--1.15622741) × R
    1.93100000001056e-05 × 6371000     		dr = 123.024010000673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.86143775-1.86148569) × cos(-1.15620810) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.402813075834071 × 6371000     		do = 123.029481768786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.86143775-1.86148569) × cos(-1.15622741) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.402795401658421 × 6371000     		du = 123.02408362061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15620810)-sin(-1.15622741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402813075834071-0.402795401658421)×R²
    abs(1.86148569-1.86143775)×1.76741756496845e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.76741756496845e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.76741756496845e-05×40589641000000     		ar = 15135.2481449551m²