Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10436 / 2517
↖ ↑ ↗
← N 77.054194°
E 49.306641°		 ← 547.37 m → N 77.054194°
E 49.328613°		 →
↑
547.46 m
↓
↑
547.46 m
↓
N 77.049271°
E 49.306641°		 ← 547.57 m →
299 717 m²		 N 77.049271°
E 49.328613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636993408203125 y=0.153656005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636993408203125 × 214)
    floor (0.636993408203125 × 16384)
    floor (10436.5)     		tx = 10436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153656005859375 × 214)
    floor (0.153656005859375 × 16384)
    floor (2517.5)     		ty = 2517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10436 / 2517 ti = "14/10436/2517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10436/2517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10436 ÷ 214
    10436 ÷ 16384     		x = 0.636962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2517 ÷ 214
    2517 ÷ 16384     		y = 0.15362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636962890625 × 2 - 1) × π
    0.27392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86056322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15362548828125 × 2 - 1) × π
    0.6927490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17633524275055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86056322} λ = 0.86056322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17633524275055))-π/2
    2×atan(8.81394602614453)-π/2
    2×1.45782285974445-π/2
    2.91564571948891-1.57079632675     		φ = 1.34484939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86056322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.306641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34484939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.054194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10436 KachelY 2517 0.86056322 1.34484939 49.306641 77.054194
    Oben rechts KachelX + 1 10437 KachelY 2517 0.86094672 1.34484939 49.328613 77.054194
    Unten links KachelX 10436 KachelY + 1 2518 0.86056322 1.34476346 49.306641 77.049271
    Unten rechts KachelX + 1 10437 KachelY + 1 2518 0.86094672 1.34476346 49.328613 77.049271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34484939-1.34476346) × R
    8.59300000000118e-05 × 6371000     		dl = 547.460030000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34484939-1.34476346) × R
    8.59300000000118e-05 × 6371000     		dr = 547.460030000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86056322-0.86094672) × cos(1.34484939) × R
    0.000383500000000092 × 0.224029330372691 × 6371000     		do = 547.366046269124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86056322-0.86094672) × cos(1.34476346) × R
    0.000383500000000092 × 0.224113075411317 × 6371000     		du = 547.57065872148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34484939)-sin(1.34476346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224029330372691-0.224113075411317)×R²
    abs(0.86094672-0.86056322)×8.37450386256822e-05×R²
    0.000383500000000092×8.37450386256822e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.37450386256822e-05×40589641000000     		ar = 299717.040866063m²