Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10435 / 2515
↖ ↑ ↗
← N 77.064036°
E 49.284668°		 ← 546.94 m → N 77.064036°
E 49.306641°		 →
↑
547.08 m
↓
↑
547.08 m
↓
N 77.059116°
E 49.284668°		 ← 547.15 m →
299 276 m²		 N 77.059116°
E 49.306641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636932373046875 y=0.153533935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636932373046875 × 214)
    floor (0.636932373046875 × 16384)
    floor (10435.5)     		tx = 10435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153533935546875 × 214)
    floor (0.153533935546875 × 16384)
    floor (2515.5)     		ty = 2515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10435 / 2515 ti = "14/10435/2515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10435/2515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10435 ÷ 214
    10435 ÷ 16384     		x = 0.63690185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2515 ÷ 214
    2515 ÷ 16384     		y = 0.15350341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63690185546875 × 2 - 1) × π
    0.2738037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86017973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15350341796875 × 2 - 1) × π
    0.6929931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17710223314447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86017973} λ = 0.86017973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17710223314447))-π/2
    2×atan(8.82070883125086)-π/2
    2×1.45790874181298-π/2
    2.91581748362595-1.57079632675     		φ = 1.34502116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86017973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.284668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34502116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.064036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10435 KachelY 2515 0.86017973 1.34502116 49.284668 77.064036
    Oben rechts KachelX + 1 10436 KachelY 2515 0.86056322 1.34502116 49.306641 77.064036
    Unten links KachelX 10435 KachelY + 1 2516 0.86017973 1.34493529 49.284668 77.059116
    Unten rechts KachelX + 1 10436 KachelY + 1 2516 0.86056322 1.34493529 49.306641 77.059116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34502116-1.34493529) × R
    8.58699999999324e-05 × 6371000     		dl = 547.077769999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34502116-1.34493529) × R
    8.58699999999324e-05 × 6371000     		dr = 547.077769999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86017973-0.86056322) × cos(1.34502116) × R
    0.000383489999999931 × 0.223861923049263 × 6371000     		do = 546.942761311702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86017973-0.86056322) × cos(1.34493529) × R
    0.000383489999999931 × 0.22394561291789 × 6371000     		du = 547.147233636505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34502116)-sin(1.34493529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223861923049263-0.22394561291789)×R²
    abs(0.86056322-0.86017973)×8.36898686268905e-05×R²
    0.000383489999999931×8.36898686268905e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.36898686268905e-05×40589641000000     		ar = 299276.157490718m²