Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10434 / 2512
↖ ↑ ↗
← N 77.078784°
E 49.262695°		 ← 546.34 m → N 77.078784°
E 49.284668°		 →
↑
546.44 m
↓
↑
546.44 m
↓
N 77.073870°
E 49.262695°		 ← 546.55 m →
298 600 m²		 N 77.073870°
E 49.284668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636871337890625 y=0.153350830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636871337890625 × 214)
    floor (0.636871337890625 × 16384)
    floor (10434.5)     		tx = 10434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153350830078125 × 214)
    floor (0.153350830078125 × 16384)
    floor (2512.5)     		ty = 2512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10434 / 2512 ti = "14/10434/2512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10434/2512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10434 ÷ 214
    10434 ÷ 16384     		x = 0.6368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2512 ÷ 214
    2512 ÷ 16384     		y = 0.1533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6368408203125 × 2 - 1) × π
    0.273681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.85979623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1533203125 × 2 - 1) × π
    0.693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17825271873535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85979623} λ = 0.85979623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17825271873535))-π/2
    2×atan(8.83086276952242)-π/2
    2×1.45803744460186-π/2
    2.91607488920371-1.57079632675     		φ = 1.34527856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85979623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.262695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34527856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.078784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10434 KachelY 2512 0.85979623 1.34527856 49.262695 77.078784
    Oben rechts KachelX + 1 10435 KachelY 2512 0.86017973 1.34527856 49.284668 77.078784
    Unten links KachelX 10434 KachelY + 1 2513 0.85979623 1.34519279 49.262695 77.073870
    Unten rechts KachelX + 1 10435 KachelY + 1 2513 0.86017973 1.34519279 49.284668 77.073870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34527856-1.34519279) × R
    8.5769999999874e-05 × 6371000     		dl = 546.440669999197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34527856-1.34519279) × R
    8.5769999999874e-05 × 6371000     		dr = 546.440669999197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85979623-0.86017973) × cos(1.34527856) × R
    0.000383499999999981 × 0.223611048224246 × 6371000     		do = 546.344066488736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85979623-0.86017973) × cos(1.34519279) × R
    0.000383499999999981 × 0.223694645573105 × 6371000     		du = 546.54831809386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34527856)-sin(1.34519279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223611048224246-0.223694645573105)×R²
    abs(0.86017973-0.85979623)×8.35973488589048e-05×R²
    0.000383499999999981×8.35973488589048e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.35973488589048e-05×40589641000000     		ar = 298600.423617627m²