Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10433 / 2511
↖ ↑ ↗
← N 77.083696°
E 49.240723°		 ← 546.13 m → N 77.083696°
E 49.262695°		 →
↑
546.25 m
↓
↑
546.25 m
↓
N 77.078784°
E 49.240723°		 ← 546.33 m →
298 377 m²		 N 77.078784°
E 49.262695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636810302734375 y=0.153289794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636810302734375 × 214)
    floor (0.636810302734375 × 16384)
    floor (10433.5)     		tx = 10433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153289794921875 × 214)
    floor (0.153289794921875 × 16384)
    floor (2511.5)     		ty = 2511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10433 / 2511 ti = "14/10433/2511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10433/2511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10433 ÷ 214
    10433 ÷ 16384     		x = 0.63677978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2511 ÷ 214
    2511 ÷ 16384     		y = 0.15325927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63677978515625 × 2 - 1) × π
    0.2735595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85941274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15325927734375 × 2 - 1) × π
    0.6934814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17863621393231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85941274} λ = 0.85941274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17863621393231))-π/2
    2×atan(8.83425001243372)-π/2
    2×1.45808031347048-π/2
    2.91616062694097-1.57079632675     		φ = 1.34536430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85941274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.240723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34536430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.083696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10433 KachelY 2511 0.85941274 1.34536430 49.240723 77.083696
    Oben rechts KachelX + 1 10434 KachelY 2511 0.85979623 1.34536430 49.262695 77.083696
    Unten links KachelX 10433 KachelY + 1 2512 0.85941274 1.34527856 49.240723 77.078784
    Unten rechts KachelX + 1 10434 KachelY + 1 2512 0.85979623 1.34527856 49.262695 77.078784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34536430-1.34527856) × R
    8.57400000000563e-05 × 6371000     		dl = 546.249540000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34536430-1.34527856) × R
    8.57400000000563e-05 × 6371000     		dr = 546.249540000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85941274-0.85979623) × cos(1.34536430) × R
    0.000383490000000042 × 0.223527478471323 × 6371000     		do = 546.125641372602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85941274-0.85979623) × cos(1.34527856) × R
    0.000383490000000042 × 0.223611048224246 × 6371000     		du = 546.329820228941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34536430)-sin(1.34527856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223527478471323-0.223611048224246)×R²
    abs(0.85979623-0.85941274)×8.35697529232016e-05×R²
    0.000383490000000042×8.35697529232016e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.35697529232016e-05×40589641000000     		ar = 298376.646869363m²