Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104328 / 99944
↖ ↑ ↗
← S 68.244968°
E106.545410°		 ← 113.20 m → S 68.244968°
E106.548157°		 →
↑
113.21 m
↓
↑
113.21 m
↓
S 68.245986°
E106.545410°		 ← 113.20 m →
12 816 m²		 S 68.245986°
E106.548157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795963287353516 y=0.762516021728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795963287353516 × 217)
    floor (0.795963287353516 × 131072)
    floor (104328.5)     		tx = 104328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762516021728516 × 217)
    floor (0.762516021728516 × 131072)
    floor (99944.5)     		ty = 99944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104328 / 99944 ti = "17/104328/99944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104328/99944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104328 ÷ 217
    104328 ÷ 131072     		x = 0.79595947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99944 ÷ 217
    99944 ÷ 131072     		y = 0.76251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79595947265625 × 2 - 1) × π
    0.5919189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.85956821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.5250244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64941284212689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85956821} λ = 1.85956821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64941284212689))-π/2
    2×atan(0.192162705348133)-π/2
    2×0.189848467919581-π/2
    0.379696935839162-1.57079632675     		φ = -1.19109939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85956821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.545410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19109939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.244968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104328 KachelY 99944 1.85956821 -1.19109939 106.545410 -68.244968
    Oben rechts KachelX + 1 104329 KachelY 99944 1.85961615 -1.19109939 106.548157 -68.244968
    Unten links KachelX 104328 KachelY + 1 99945 1.85956821 -1.19111716 106.545410 -68.245986
    Unten rechts KachelX + 1 104329 KachelY + 1 99945 1.85961615 -1.19111716 106.548157 -68.245986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19109939--1.19111716) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dl = 113.212669999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19109939--1.19111716) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dr = 113.212669999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85956821-1.85961615) × cos(-1.19109939) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370639008302344 × 6371000     		do = 113.202693383535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85956821-1.85961615) × cos(-1.19111716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370622503876443 × 6371000     		du = 113.197652507041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19109939)-sin(-1.19111716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370639008302344-0.370622503876443)×R²
    abs(1.85961615-1.85956821)×1.65044259016756e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65044259016756e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65044259016756e-05×40589641000000     		ar = 12815.6938239269m²