Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104325 / 99982
↖ ↑ ↗
← S 68.283619°
E106.537170°		 ← 113.01 m → S 68.283619°
E106.539917°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
S 68.284635°
E106.537170°		 ← 113.01 m →
12 765 m²		 S 68.284635°
E106.539917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795940399169922 y=0.762805938720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795940399169922 × 217)
    floor (0.795940399169922 × 131072)
    floor (104325.5)     		tx = 104325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762805938720703 × 217)
    floor (0.762805938720703 × 131072)
    floor (99982.5)     		ty = 99982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104325 / 99982 ti = "17/104325/99982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104325/99982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104325 ÷ 217
    104325 ÷ 131072     		x = 0.795936584472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99982 ÷ 217
    99982 ÷ 131072     		y = 0.762802124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795936584472656 × 2 - 1) × π
    0.591873168945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.85942440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762802124023438 × 2 - 1) × π
    -0.525604248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65123444431245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85942440} λ = 1.85942440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65123444431245))-π/2
    2×atan(0.191812979971049)-π/2
    2×0.189511174939296-π/2
    0.379022349878592-1.57079632675     		φ = -1.19177398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85942440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.537170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19177398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.283619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104325 KachelY 99982 1.85942440 -1.19177398 106.537170 -68.283619
    Oben rechts KachelX + 1 104326 KachelY 99982 1.85947234 -1.19177398 106.539917 -68.283619
    Unten links KachelX 104325 KachelY + 1 99983 1.85942440 -1.19179171 106.537170 -68.284635
    Unten rechts KachelX + 1 104326 KachelY + 1 99983 1.85947234 -1.19179171 106.539917 -68.284635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19177398--1.19179171) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19177398--1.19179171) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85942440-1.85947234) × cos(-1.19177398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370012380336224 × 6371000     		do = 113.011305073279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85942440-1.85947234) × cos(-1.19179171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369995908632491 × 6371000     		du = 113.006274190977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19177398)-sin(-1.19179171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370012380336224-0.369995908632491)×R²
    abs(1.85947234-1.85942440)×1.64717037333117e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64717037333117e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64717037333117e-05×40589641000000     		ar = 12765.2276481154m²