Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104322 / 99968
↖ ↑ ↗
← S 68.269387°
E106.528931°		 ← 113.08 m → S 68.269387°
E106.531678°		 →
↑
113.09 m
↓
↑
113.09 m
↓
S 68.270404°
E106.528931°		 ← 113.08 m →
12 788 m²		 S 68.270404°
E106.531678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795917510986328 y=0.762699127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795917510986328 × 217)
    floor (0.795917510986328 × 131072)
    floor (104322.5)     		tx = 104322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762699127197266 × 217)
    floor (0.762699127197266 × 131072)
    floor (99968.5)     		ty = 99968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104322 / 99968 ti = "17/104322/99968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104322/99968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104322 ÷ 217
    104322 ÷ 131072     		x = 0.795913696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99968 ÷ 217
    99968 ÷ 131072     		y = 0.7626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795913696289062 × 2 - 1) × π
    0.591827392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.85928059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7626953125 × 2 - 1) × π
    -0.525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65056332771777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85928059} λ = 1.85928059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65056332771777))-π/2
    2×atan(0.191941752050689)-π/2
    2×0.189635374377561-π/2
    0.379270748755122-1.57079632675     		φ = -1.19152558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85928059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.528931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19152558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.269387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104322 KachelY 99968 1.85928059 -1.19152558 106.528931 -68.269387
    Oben rechts KachelX + 1 104323 KachelY 99968 1.85932853 -1.19152558 106.531678 -68.269387
    Unten links KachelX 104322 KachelY + 1 99969 1.85928059 -1.19154333 106.528931 -68.270404
    Unten rechts KachelX + 1 104323 KachelY + 1 99969 1.85932853 -1.19154333 106.531678 -68.270404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19152558--1.19154333) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dl = 113.085250000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19152558--1.19154333) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dr = 113.085250000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85928059-1.85932853) × cos(-1.19152558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370243139181402 × 6371000     		do = 113.081784764328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85928059-1.85932853) × cos(-1.19154333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370226650528895 × 6371000     		du = 113.076748705435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19152558)-sin(-1.19154333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370243139181402-0.370226650528895)×R²
    abs(1.85932853-1.85928059)×1.64886525071406e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64886525071406e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64886525071406e-05×40589641000000     		ar = 12787.5971489463m²