Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104321 / 97917
↖ ↑ ↗
← S 66.086025°
E106.526184°		 ← 123.81 m → S 66.086025°
E106.528931°		 →
↑
123.79 m
↓
↑
123.79 m
↓
S 66.087138°
E106.526184°		 ← 123.80 m →
15 326 m²		 S 66.087138°
E106.528931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795909881591797 y=0.747051239013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795909881591797 × 217)
    floor (0.795909881591797 × 131072)
    floor (104321.5)     		tx = 104321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747051239013672 × 217)
    floor (0.747051239013672 × 131072)
    floor (97917.5)     		ty = 97917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104321 / 97917 ti = "17/104321/97917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104321/97917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104321 ÷ 217
    104321 ÷ 131072     		x = 0.795906066894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97917 ÷ 217
    97917 ÷ 131072     		y = 0.747047424316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795906066894531 × 2 - 1) × π
    0.591812133789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.85923265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747047424316406 × 2 - 1) × π
    -0.494094848632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.55224474659704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85923265} λ = 1.85923265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55224474659704))-π/2
    2×atan(0.211772065256676)-π/2
    2×0.208688805837501-π/2
    0.417377611675001-1.57079632675     		φ = -1.15341872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85923265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.526184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15341872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.086025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104321 KachelY 97917 1.85923265 -1.15341872 106.526184 -66.086025
    Oben rechts KachelX + 1 104322 KachelY 97917 1.85928059 -1.15341872 106.528931 -66.086025
    Unten links KachelX 104321 KachelY + 1 97918 1.85923265 -1.15343815 106.526184 -66.087138
    Unten rechts KachelX + 1 104322 KachelY + 1 97918 1.85928059 -1.15343815 106.528931 -66.087138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15341872--1.15343815) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dl = 123.788530000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15341872--1.15343815) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dr = 123.788530000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85923265-1.85928059) × cos(-1.15341872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405364575498759 × 6371000     		do = 123.808775441413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85923265-1.85928059) × cos(-1.15343815) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.4053468133885 × 6371000     		du = 123.803350435743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15341872)-sin(-1.15343815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405364575498759-0.4053468133885)×R²
    abs(1.85928059-1.85923265)×1.77621102591119e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77621102591119e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77621102591119e-05×40589641000000     		ar = 15325.7705367117m²