Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10432 / 6336
↖ ↑ ↗
← N 80.928426°
W122.695313°		 ← 96.30 m → N 80.928426°
W122.689820°		 →
↑
96.33 m
↓
↑
96.33 m
↓
N 80.927560°
W122.695313°		 ← 96.31 m →
9 277 m²		 N 80.927560°
W122.689820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159187316894531 y=0.0966873168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159187316894531 × 216)
    floor (0.159187316894531 × 65536)
    floor (10432.5)     		tx = 10432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0966873168945312 × 216)
    floor (0.0966873168945312 × 65536)
    floor (6336.5)     		ty = 6336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10432 / 6336 ti = "16/10432/6336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10432/6336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10432 ÷ 216
    10432 ÷ 65536     		x = 0.1591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6336 ÷ 216
    6336 ÷ 65536     		y = 0.0966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1591796875 × 2 - 1) × π
    -0.681640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14143718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0966796875 × 2 - 1) × π
    0.806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53413626151465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14143718} λ = -2.14143718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53413626151465))-π/2
    2×atan(12.6055382560183)-π/2
    2×1.4916319067894-π/2
    2.9832638135788-1.57079632675     		φ = 1.41246749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14143718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.695313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41246749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.928426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10432 KachelY 6336 -2.14143718 1.41246749 -122.695313 80.928426
    Oben rechts KachelX + 1 10433 KachelY 6336 -2.14134131 1.41246749 -122.689820 80.928426
    Unten links KachelX 10432 KachelY + 1 6337 -2.14143718 1.41245237 -122.695313 80.927560
    Unten rechts KachelX + 1 10433 KachelY + 1 6337 -2.14134131 1.41245237 -122.689820 80.927560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41246749-1.41245237) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dl = 96.3295200002237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41246749-1.41245237) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dr = 96.3295200002237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14143718--2.14134131) × cos(1.41246749) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157668167000313 × 6371000     		do = 96.3017881221064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14143718--2.14134131) × cos(1.41245237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157683097863619 × 6371000     		du = 96.3109077108095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41246749)-sin(1.41245237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157668167000313-0.157683097863619)×R²
    abs(-2.14134131--2.14143718)×1.49308633063117e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49308633063117e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49308633063117e-05×40589641000000     		ar = 9277.14426832772m²