Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104316 / 97907
↖ ↑ ↗
← S 66.074888°
E106.512451°		 ← 123.84 m → S 66.074888°
E106.515198°		 →
↑
123.85 m
↓
↑
123.85 m
↓
S 66.076002°
E106.512451°		 ← 123.83 m →
15 337 m²		 S 66.076002°
E106.515198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795871734619141 y=0.746974945068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795871734619141 × 217)
    floor (0.795871734619141 × 131072)
    floor (104316.5)     		tx = 104316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746974945068359 × 217)
    floor (0.746974945068359 × 131072)
    floor (97907.5)     		ty = 97907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104316 / 97907 ti = "17/104316/97907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104316/97907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104316 ÷ 217
    104316 ÷ 131072     		x = 0.795867919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97907 ÷ 217
    97907 ÷ 131072     		y = 0.746971130371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795867919921875 × 2 - 1) × π
    0.59173583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.85899297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746971130371094 × 2 - 1) × π
    -0.493942260742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.55176537760084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85899297} λ = 1.85899297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55176537760084))-π/2
    2×atan(0.211873606554952)-π/2
    2×0.20878598673442-π/2
    0.417571973468839-1.57079632675     		φ = -1.15322435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85899297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.512451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15322435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.074888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104316 KachelY 97907 1.85899297 -1.15322435 106.512451 -66.074888
    Oben rechts KachelX + 1 104317 KachelY 97907 1.85904090 -1.15322435 106.515198 -66.074888
    Unten links KachelX 104316 KachelY + 1 97908 1.85899297 -1.15324379 106.512451 -66.076002
    Unten rechts KachelX + 1 104317 KachelY + 1 97908 1.85904090 -1.15324379 106.515198 -66.076002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15322435--1.15324379) × R
    1.94400000002037e-05 × 6371000     		dl = 123.852240001298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15322435--1.15324379) × R
    1.94400000002037e-05 × 6371000     		dr = 123.852240001298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85899297-1.85904090) × cos(-1.15322435) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.405542252168648 × 6371000     		do = 123.837205373066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85899297-1.85904090) × cos(-1.15324379) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.405524482448753 × 6371000     		du = 123.831779175326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15322435)-sin(-1.15324379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405542252168648-0.405524482448753)×R²
    abs(1.85904090-1.85899297)×1.77697198955329e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77697198955329e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77697198955329e-05×40589641000000     		ar = 15337.1792582027m²