Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104314 / 99966
↖ ↑ ↗
← S 68.267353°
E106.506958°		 ← 113.09 m → S 68.267353°
E106.509705°		 →
↑
113.09 m
↓
↑
113.09 m
↓
S 68.268370°
E106.506958°		 ← 113.09 m →
12 789 m²		 S 68.268370°
E106.509705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795856475830078 y=0.762683868408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795856475830078 × 217)
    floor (0.795856475830078 × 131072)
    floor (104314.5)     		tx = 104314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762683868408203 × 217)
    floor (0.762683868408203 × 131072)
    floor (99966.5)     		ty = 99966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104314 / 99966 ti = "17/104314/99966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104314/99966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104314 ÷ 217
    104314 ÷ 131072     		x = 0.795852661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99966 ÷ 217
    99966 ÷ 131072     		y = 0.762680053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795852661132812 × 2 - 1) × π
    0.591705322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.85889709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762680053710938 × 2 - 1) × π
    -0.525360107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65046745391853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85889709} λ = 1.85889709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65046745391853))-π/2
    2×atan(0.191960155117863)-π/2
    2×0.189653123476203-π/2
    0.379306246952406-1.57079632675     		φ = -1.19149008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85889709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.506958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19149008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.267353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104314 KachelY 99966 1.85889709 -1.19149008 106.506958 -68.267353
    Oben rechts KachelX + 1 104315 KachelY 99966 1.85894503 -1.19149008 106.509705 -68.267353
    Unten links KachelX 104314 KachelY + 1 99967 1.85889709 -1.19150783 106.506958 -68.268370
    Unten rechts KachelX + 1 104315 KachelY + 1 99967 1.85894503 -1.19150783 106.509705 -68.268370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19149008--1.19150783) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dl = 113.085250000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19149008--1.19150783) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dr = 113.085250000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85889709-1.85894503) × cos(-1.19149008) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.370276116136462 × 6371000     		do = 113.091856775754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85889709-1.85894503) × cos(-1.19150783) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.370259627717259 × 6371000     		du = 113.086820788118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19149008)-sin(-1.19150783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370276116136462-0.370259627717259)×R²
    abs(1.85894503-1.85889709)×1.64884192025427e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.64884192025427e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.64884192025427e-05×40589641000000     		ar = 12788.7361488537m²