Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104308 / 99892
↖ ↑ ↗
← S 68.191971°
E106.490478°		 ← 113.47 m → S 68.191971°
E106.493225°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 68.192992°
E106.490478°		 ← 113.46 m →
12 874 m²		 S 68.192992°
E106.493225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795810699462891 y=0.762119293212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795810699462891 × 217)
    floor (0.795810699462891 × 131072)
    floor (104308.5)     		tx = 104308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762119293212891 × 217)
    floor (0.762119293212891 × 131072)
    floor (99892.5)     		ty = 99892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104308 / 99892 ti = "17/104308/99892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104308/99892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104308 ÷ 217
    104308 ÷ 131072     		x = 0.795806884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99892 ÷ 217
    99892 ÷ 131072     		y = 0.762115478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795806884765625 × 2 - 1) × π
    0.59161376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.85860947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762115478515625 × 2 - 1) × π
    -0.52423095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64692012334665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85860947} λ = 1.85860947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64692012334665))-π/2
    2×atan(0.192642310444591)-π/2
    2×0.190310952421814-π/2
    0.380621904843628-1.57079632675     		φ = -1.19017442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85860947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.490478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19017442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.191971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104308 KachelY 99892 1.85860947 -1.19017442 106.490478 -68.191971
    Oben rechts KachelX + 1 104309 KachelY 99892 1.85865741 -1.19017442 106.493225 -68.191971
    Unten links KachelX 104308 KachelY + 1 99893 1.85860947 -1.19019223 106.490478 -68.192992
    Unten rechts KachelX + 1 104309 KachelY + 1 99893 1.85865741 -1.19019223 106.493225 -68.192992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19017442--1.19019223) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dl = 113.467510000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19017442--1.19019223) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dr = 113.467510000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85860947-1.85865741) × cos(-1.19017442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371497940492706 × 6371000     		do = 113.465033383386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85860947-1.85865741) × cos(-1.19019223) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371481405028201 × 6371000     		du = 113.459983026903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19017442)-sin(-1.19019223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371497940492706-0.371481405028201)×R²
    abs(1.85865741-1.85860947)×1.65354645049742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65354645049742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65354645049742e-05×40589641000000     		ar = 12874.3082848925m²