Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1043 / 3123
↖ ↑ ↗
← N 39.266285°
W134.165039°		 ← 3 783.19 m → N 39.266285°
W134.121094°		 →
↑
3 784.12 m
↓
↑
3 784.12 m
↓
N 39.232253°
W134.165039°		 ← 3 785.02 m →
14 319 500 m²		 N 39.232253°
W134.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12738037109375 y=0.38128662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12738037109375 × 213)
    floor (0.12738037109375 × 8192)
    floor (1043.5)     		tx = 1043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38128662109375 × 213)
    floor (0.38128662109375 × 8192)
    floor (3123.5)     		ty = 3123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1043 / 3123 ti = "13/1043/3123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1043/3123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1043 ÷ 213
    1043 ÷ 8192     		x = 0.1273193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3123 ÷ 213
    3123 ÷ 8192     		y = 0.3812255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1273193359375 × 2 - 1) × π
    -0.745361328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34162167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3812255859375 × 2 - 1) × π
    0.237548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.746281653285034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34162167} λ = -2.34162167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.746281653285034))-π/2
    2×atan(2.10914289336231)-π/2
    2×1.12806113748456-π/2
    2.25612227496912-1.57079632675     		φ = 0.68532595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34162167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68532595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.266285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1043 KachelY 3123 -2.34162167 0.68532595 -134.165039 39.266285
    Oben rechts KachelX + 1 1044 KachelY 3123 -2.34085468 0.68532595 -134.121094 39.266285
    Unten links KachelX 1043 KachelY + 1 3124 -2.34162167 0.68473199 -134.165039 39.232253
    Unten rechts KachelX + 1 1044 KachelY + 1 3124 -2.34085468 0.68473199 -134.121094 39.232253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68532595-0.68473199) × R
    0.000593960000000004 × 6371000     		dl = 3784.11916000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68532595-0.68473199) × R
    0.000593960000000004 × 6371000     		dr = 3784.11916000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34162167--2.34085468) × cos(0.68532595) × R
    0.000766989999999801 × 0.77421278618903 × 6371000     		do = 3783.18558474392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34162167--2.34085468) × cos(0.68473199) × R
    0.000766989999999801 × 0.774588581970713 × 6371000     		du = 3785.02190830952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68532595)-sin(0.68473199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77421278618903-0.774588581970713)×R²
    abs(-2.34085468--2.34162167)×0.000375795781683563×R²
    0.000766989999999801×0.000375795781683563×6371000²
    0.000766989999999801×0.000375795781683563×40589641000000     		ar = 14319499.9116391m²