Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104297 / 99305
↖ ↑ ↗
← S 67.585145°
E106.460266°		 ← 116.44 m → S 67.585145°
E106.463013°		 →
↑
116.40 m
↓
↑
116.40 m
↓
S 67.586192°
E106.460266°		 ← 116.43 m →
13 553 m²		 S 67.586192°
E106.463013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795726776123047 y=0.757640838623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795726776123047 × 217)
    floor (0.795726776123047 × 131072)
    floor (104297.5)     		tx = 104297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757640838623047 × 217)
    floor (0.757640838623047 × 131072)
    floor (99305.5)     		ty = 99305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104297 / 99305 ti = "17/104297/99305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104297/99305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104297 ÷ 217
    104297 ÷ 131072     		x = 0.795722961425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99305 ÷ 217
    99305 ÷ 131072     		y = 0.757637023925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795722961425781 × 2 - 1) × π
    0.591445922851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.85808217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757637023925781 × 2 - 1) × π
    -0.515274047851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.61878116326968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85808217} λ = 1.85808217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61878116326968))-π/2
    2×atan(0.198140052342171)-π/2
    2×0.195606510637351-π/2
    0.391213021274702-1.57079632675     		φ = -1.17958331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85808217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.460266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17958331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.585145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104297 KachelY 99305 1.85808217 -1.17958331 106.460266 -67.585145
    Oben rechts KachelX + 1 104298 KachelY 99305 1.85813010 -1.17958331 106.463013 -67.585145
    Unten links KachelX 104297 KachelY + 1 99306 1.85808217 -1.17960158 106.460266 -67.586192
    Unten rechts KachelX + 1 104298 KachelY + 1 99306 1.85813010 -1.17960158 106.463013 -67.586192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17958331--1.17960158) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dl = 116.398169999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17958331--1.17960158) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dr = 116.398169999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85808217-1.85813010) × cos(-1.17958331) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.381310065364949 × 6371000     		do = 116.437615618805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85808217-1.85813010) × cos(-1.17960158) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.381293175650883 × 6371000     		du = 116.432458141432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17958331)-sin(-1.17960158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381310065364949-0.381293175650883)×R²
    abs(1.85813010-1.85808217)×1.68897140659929e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.68897140659929e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.68897140659929e-05×40589641000000     		ar = 13552.8252172193m²