Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10429 / 2522
↖ ↑ ↗
← N 77.029559°
E 49.152832°		 ← 548.38 m → N 77.029559°
E 49.174805°		 →
↑
548.48 m
↓
↑
548.48 m
↓
N 77.024626°
E 49.152832°		 ← 548.58 m →
300 829 m²		 N 77.024626°
E 49.174805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636566162109375 y=0.153961181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636566162109375 × 214)
    floor (0.636566162109375 × 16384)
    floor (10429.5)     		tx = 10429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153961181640625 × 214)
    floor (0.153961181640625 × 16384)
    floor (2522.5)     		ty = 2522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10429 / 2522 ti = "14/10429/2522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10429/2522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10429 ÷ 214
    10429 ÷ 16384     		x = 0.63653564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2522 ÷ 214
    2522 ÷ 16384     		y = 0.1539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63653564453125 × 2 - 1) × π
    0.2730712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.85787876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1539306640625 × 2 - 1) × π
    0.692138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17441776676575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85787876} λ = 0.85787876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17441776676575))-π/2
    2×atan(8.79706168913665)-π/2
    2×1.4576078735092-π/2
    2.91521574701839-1.57079632675     		φ = 1.34441942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85787876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.152832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34441942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.029559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10429 KachelY 2522 0.85787876 1.34441942 49.152832 77.029559
    Oben rechts KachelX + 1 10430 KachelY 2522 0.85826225 1.34441942 49.174805 77.029559
    Unten links KachelX 10429 KachelY + 1 2523 0.85787876 1.34433333 49.152832 77.024626
    Unten rechts KachelX + 1 10430 KachelY + 1 2523 0.85826225 1.34433333 49.174805 77.024626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34441942-1.34433333) × R
    8.60899999999276e-05 × 6371000     		dl = 548.479389999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34441942-1.34433333) × R
    8.60899999999276e-05 × 6371000     		dr = 548.479389999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85787876-0.85826225) × cos(1.34441942) × R
    0.000383490000000042 × 0.224448350846732 × 6371000     		do = 548.375530379905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85787876-0.85826225) × cos(1.34433333) × R
    0.000383490000000042 × 0.224532243513454 × 6371000     		du = 548.580498184013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34441942)-sin(1.34433333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224448350846732-0.224532243513454)×R²
    abs(0.85826225-0.85787876)×8.38926667222906e-05×R²
    0.000383490000000042×8.38926667222906e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.38926667222906e-05×40589641000000     		ar = 300828.886887238m²