Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10428 / 2523
↖ ↑ ↗
← N 77.024626°
E 49.130859°		 ← 548.59 m → N 77.024626°
E 49.152832°		 →
↑
548.67 m
↓
↑
548.67 m
↓
N 77.019692°
E 49.130859°		 ← 548.80 m →
301 054 m²		 N 77.019692°
E 49.152832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636505126953125 y=0.154022216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636505126953125 × 214)
    floor (0.636505126953125 × 16384)
    floor (10428.5)     		tx = 10428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154022216796875 × 214)
    floor (0.154022216796875 × 16384)
    floor (2523.5)     		ty = 2523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10428 / 2523 ti = "14/10428/2523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10428/2523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10428 ÷ 214
    10428 ÷ 16384     		x = 0.636474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2523 ÷ 214
    2523 ÷ 16384     		y = 0.15399169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636474609375 × 2 - 1) × π
    0.27294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85749526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15399169921875 × 2 - 1) × π
    0.6920166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17403427156879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85749526} λ = 0.85749526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17403427156879))-π/2
    2×atan(8.79368870503445)-π/2
    2×1.45756482803426-π/2
    2.91512965606852-1.57079632675     		φ = 1.34433333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85749526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.130859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34433333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.024626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10428 KachelY 2523 0.85749526 1.34433333 49.130859 77.024626
    Oben rechts KachelX + 1 10429 KachelY 2523 0.85787876 1.34433333 49.152832 77.024626
    Unten links KachelX 10428 KachelY + 1 2524 0.85749526 1.34424721 49.130859 77.019692
    Unten rechts KachelX + 1 10429 KachelY + 1 2524 0.85787876 1.34424721 49.152832 77.019692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34433333-1.34424721) × R
    8.61199999999673e-05 × 6371000     		dl = 548.670519999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34433333-1.34424721) × R
    8.61199999999673e-05 × 6371000     		dr = 548.670519999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85749526-0.85787876) × cos(1.34433333) × R
    0.000383499999999981 × 0.224532243513454 × 6371000     		do = 548.594803133161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85749526-0.85787876) × cos(1.34424721) × R
    0.000383499999999981 × 0.224616163749478 × 6371000     		du = 548.799843641553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34433333)-sin(1.34424721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224532243513454-0.224616163749478)×R²
    abs(0.85787876-0.85749526)×8.39202360239932e-05×R²
    0.000383499999999981×8.39202360239932e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.39202360239932e-05×40589641000000     		ar = 301054.045931982m²