Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104270 / 99890
↖ ↑ ↗
← S 68.189930°
E106.386108°		 ← 113.48 m → S 68.189930°
E106.388855°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 68.190951°
E106.386108°		 ← 113.47 m →
12 875 m²		 S 68.190951°
E106.388855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795520782470703 y=0.762104034423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795520782470703 × 217)
    floor (0.795520782470703 × 131072)
    floor (104270.5)     		tx = 104270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762104034423828 × 217)
    floor (0.762104034423828 × 131072)
    floor (99890.5)     		ty = 99890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104270 / 99890 ti = "17/104270/99890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104270/99890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104270 ÷ 217
    104270 ÷ 131072     		x = 0.795516967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99890 ÷ 217
    99890 ÷ 131072     		y = 0.762100219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795516967773438 × 2 - 1) × π
    0.591033935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.85678787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762100219726562 × 2 - 1) × π
    -0.524200439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64682424954741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85678787} λ = 1.85678787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64682424954741))-π/2
    2×atan(0.192660780680179)-π/2
    2×0.190328761673817-π/2
    0.380657523347634-1.57079632675     		φ = -1.19013880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85678787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.386108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19013880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.189930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104270 KachelY 99890 1.85678787 -1.19013880 106.386108 -68.189930
    Oben rechts KachelX + 1 104271 KachelY 99890 1.85683581 -1.19013880 106.388855 -68.189930
    Unten links KachelX 104270 KachelY + 1 99891 1.85678787 -1.19015661 106.386108 -68.190951
    Unten rechts KachelX + 1 104271 KachelY + 1 99891 1.85683581 -1.19015661 106.388855 -68.190951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19013880--1.19015661) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dl = 113.467510000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19013880--1.19015661) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dr = 113.467510000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85678787-1.85683581) × cos(-1.19013880) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371531011068197 × 6371000     		do = 113.475133988378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85678787-1.85683581) × cos(-1.19015661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371514475839373 × 6371000     		du = 113.470083703878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19013880)-sin(-1.19015661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371531011068197-0.371514475839373)×R²
    abs(1.85683581-1.85678787)×1.65352288243881e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65352288243881e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65352288243881e-05×40589641000000     		ar = 12875.4543795356m²