Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10426 / 2519
↖ ↑ ↗
← N 77.044346°
E 49.086914°		 ← 547.78 m → N 77.044346°
E 49.108887°		 →
↑
547.84 m
↓
↑
547.84 m
↓
N 77.039419°
E 49.086914°		 ← 547.98 m →
300 151 m²		 N 77.039419°
E 49.108887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636383056640625 y=0.153778076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636383056640625 × 214)
    floor (0.636383056640625 × 16384)
    floor (10426.5)     		tx = 10426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153778076171875 × 214)
    floor (0.153778076171875 × 16384)
    floor (2519.5)     		ty = 2519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10426 / 2519 ti = "14/10426/2519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10426/2519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10426 ÷ 214
    10426 ÷ 16384     		x = 0.6363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2519 ÷ 214
    2519 ÷ 16384     		y = 0.15374755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6363525390625 × 2 - 1) × π
    0.272705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85672827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15374755859375 × 2 - 1) × π
    0.6925048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17556825235663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85672827} λ = 0.85672827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17556825235663))-π/2
    2×atan(8.80718840605606)-π/2
    2×1.45773691345548-π/2
    2.91547382691097-1.57079632675     		φ = 1.34467750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85672827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.086914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34467750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.044346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10426 KachelY 2519 0.85672827 1.34467750 49.086914 77.044346
    Oben rechts KachelX + 1 10427 KachelY 2519 0.85711177 1.34467750 49.108887 77.044346
    Unten links KachelX 10426 KachelY + 1 2520 0.85672827 1.34459151 49.086914 77.039419
    Unten rechts KachelX + 1 10427 KachelY + 1 2520 0.85711177 1.34459151 49.108887 77.039419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34467750-1.34459151) × R
    8.59899999998692e-05 × 6371000     		dl = 547.842289999167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34467750-1.34459151) × R
    8.59899999998692e-05 × 6371000     		dr = 547.842289999167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85672827-0.85711177) × cos(1.34467750) × R
    0.000383500000000092 × 0.224196848031416 × 6371000     		do = 547.775338563057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85672827-0.85711177) × cos(1.34459151) × R
    0.000383500000000092 × 0.224280648230635 × 6371000     		du = 547.980085788105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34467750)-sin(1.34459151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224196848031416-0.224280648230635)×R²
    abs(0.85711177-0.85672827)×8.38001992192194e-05×R²
    0.000383500000000092×8.38001992192194e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.38001992192194e-05×40589641000000     		ar = 300150.580664125m²