Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10426 / 2504
↖ ↑ ↗
← N 77.118032°
E 49.086914°		 ← 544.71 m → N 77.118032°
E 49.108887°		 →
↑
544.85 m
↓
↑
544.85 m
↓
N 77.113132°
E 49.086914°		 ← 544.92 m →
296 841 m²		 N 77.113132°
E 49.108887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636383056640625 y=0.152862548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636383056640625 × 214)
    floor (0.636383056640625 × 16384)
    floor (10426.5)     		tx = 10426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152862548828125 × 214)
    floor (0.152862548828125 × 16384)
    floor (2504.5)     		ty = 2504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10426 / 2504 ti = "14/10426/2504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10426/2504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10426 ÷ 214
    10426 ÷ 16384     		x = 0.6363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2504 ÷ 214
    2504 ÷ 16384     		y = 0.15283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6363525390625 × 2 - 1) × π
    0.272705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85672827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15283203125 × 2 - 1) × π
    0.6943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18132068031103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85672827} λ = 0.85672827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18132068031103))-π/2
    2×atan(8.8579971194677)-π/2
    2×1.45837994727934-π/2
    2.91675989455868-1.57079632675     		φ = 1.34596357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85672827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.086914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34596357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.118032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10426 KachelY 2504 0.85672827 1.34596357 49.086914 77.118032
    Oben rechts KachelX + 1 10427 KachelY 2504 0.85711177 1.34596357 49.108887 77.118032
    Unten links KachelX 10426 KachelY + 1 2505 0.85672827 1.34587805 49.086914 77.113132
    Unten rechts KachelX + 1 10427 KachelY + 1 2505 0.85711177 1.34587805 49.108887 77.113132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34596357-1.34587805) × R
    8.55200000000611e-05 × 6371000     		dl = 544.847920000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34596357-1.34587805) × R
    8.55200000000611e-05 × 6371000     		dr = 544.847920000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85672827-0.85711177) × cos(1.34596357) × R
    0.000383500000000092 × 0.222943331321548 × 6371000     		do = 544.712648136447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85672827-0.85711177) × cos(1.34587805) × R
    0.000383500000000092 × 0.22302669808806 × 6371000     		du = 544.91633636468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34596357)-sin(1.34587805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222943331321548-0.22302669808806)×R²
    abs(0.85711177-0.85672827)×8.33667665118276e-05×R²
    0.000383500000000092×8.33667665118276e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.33667665118276e-05×40589641000000     		ar = 296841.043069968m²