Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10425 / 2521
↖ ↑ ↗
← N 77.034490°
E 49.064941°		 ← 548.18 m → N 77.034490°
E 49.086914°		 →
↑
548.29 m
↓
↑
548.29 m
↓
N 77.029559°
E 49.064941°		 ← 548.39 m →
300 620 m²		 N 77.029559°
E 49.086914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636322021484375 y=0.153900146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636322021484375 × 214)
    floor (0.636322021484375 × 16384)
    floor (10425.5)     		tx = 10425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153900146484375 × 214)
    floor (0.153900146484375 × 16384)
    floor (2521.5)     		ty = 2521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10425 / 2521 ti = "14/10425/2521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10425/2521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10425 ÷ 214
    10425 ÷ 16384     		x = 0.63629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2521 ÷ 214
    2521 ÷ 16384     		y = 0.15386962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63629150390625 × 2 - 1) × π
    0.2725830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85634477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15386962890625 × 2 - 1) × π
    0.6922607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17480126196271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85634477} λ = 0.85634477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17480126196271))-π/2
    2×atan(8.80043596701013)-π/2
    2×1.45765090290059-π/2
    2.91530180580117-1.57079632675     		φ = 1.34450548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85634477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.064941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34450548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.034490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10425 KachelY 2521 0.85634477 1.34450548 49.064941 77.034490
    Oben rechts KachelX + 1 10426 KachelY 2521 0.85672827 1.34450548 49.086914 77.034490
    Unten links KachelX 10425 KachelY + 1 2522 0.85634477 1.34441942 49.064941 77.029559
    Unten rechts KachelX + 1 10426 KachelY + 1 2522 0.85672827 1.34441942 49.086914 77.029559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34450548-1.34441942) × R
    8.60600000001099e-05 × 6371000     		dl = 548.2882600007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34450548-1.34441942) × R
    8.60600000001099e-05 × 6371000     		dr = 548.2882600007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85634477-0.85672827) × cos(1.34450548) × R
    0.000383499999999981 × 0.224364485751672 × 6371000     		do = 548.184924200591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85634477-0.85672827) × cos(1.34441942) × R
    0.000383499999999981 × 0.224448350846732 × 6371000     		du = 548.38982998425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34450548)-sin(1.34441942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224364485751672-0.224448350846732)×R²
    abs(0.85672827-0.85634477)×8.38650950596709e-05×R²
    0.000383499999999981×8.38650950596709e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.38650950596709e-05×40589641000000     		ar = 300619.532151755m²