Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104249 / 97933
↖ ↑ ↗
← S 66.103832°
E106.328430°		 ← 123.72 m → S 66.103832°
E106.331177°		 →
↑
123.66 m
↓
↑
123.66 m
↓
S 66.104944°
E106.328430°		 ← 123.72 m →
15 299 m²		 S 66.104944°
E106.331177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795360565185547 y=0.747173309326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795360565185547 × 217)
    floor (0.795360565185547 × 131072)
    floor (104249.5)     		tx = 104249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747173309326172 × 217)
    floor (0.747173309326172 × 131072)
    floor (97933.5)     		ty = 97933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104249 / 97933 ti = "17/104249/97933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104249/97933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104249 ÷ 217
    104249 ÷ 131072     		x = 0.795356750488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97933 ÷ 217
    97933 ÷ 131072     		y = 0.747169494628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795356750488281 × 2 - 1) × π
    0.590713500976562 × 3.1415926535     		Λ = 1.85578119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747169494628906 × 2 - 1) × π
    -0.494338989257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.55301173699096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85578119} λ = 1.85578119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55301173699096))-π/2
    2×atan(0.211609700391029)-π/2
    2×0.20853340495646-π/2
    0.417066809912921-1.57079632675     		φ = -1.15372952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85578119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.328430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15372952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.103832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104249 KachelY 97933 1.85578119 -1.15372952 106.328430 -66.103832
    Oben rechts KachelX + 1 104250 KachelY 97933 1.85582913 -1.15372952 106.331177 -66.103832
    Unten links KachelX 104249 KachelY + 1 97934 1.85578119 -1.15374893 106.328430 -66.104944
    Unten rechts KachelX + 1 104250 KachelY + 1 97934 1.85582913 -1.15374893 106.331177 -66.104944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15372952--1.15374893) × R
    1.9409999999942e-05 × 6371000     		dl = 123.66110999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15372952--1.15374893) × R
    1.9409999999942e-05 × 6371000     		dr = 123.66110999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85578119-1.85582913) × cos(-1.15372952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405080436517433 × 6371000     		do = 123.721992082779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85578119-1.85582913) × cos(-1.15374893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40506269024593 × 6371000     		du = 123.716571914673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15372952)-sin(-1.15374893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405080436517433-0.40506269024593)×R²
    abs(1.85582913-1.85578119)×1.77462715025278e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77462715025278e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77462715025278e-05×40589641000000     		ar = 15299.2637408584m²