Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104245 / 97935
↖ ↑ ↗
← S 66.106057°
E106.317444°		 ← 123.69 m → S 66.106057°
E106.320190°		 →
↑
123.72 m
↓
↑
123.72 m
↓
S 66.107170°
E106.317444°		 ← 123.68 m →
15 303 m²		 S 66.107170°
E106.320190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795330047607422 y=0.747188568115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795330047607422 × 217)
    floor (0.795330047607422 × 131072)
    floor (104245.5)     		tx = 104245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747188568115234 × 217)
    floor (0.747188568115234 × 131072)
    floor (97935.5)     		ty = 97935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104245 / 97935 ti = "17/104245/97935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104245/97935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104245 ÷ 217
    104245 ÷ 131072     		x = 0.795326232910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97935 ÷ 217
    97935 ÷ 131072     		y = 0.747184753417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795326232910156 × 2 - 1) × π
    0.590652465820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.85558945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747184753417969 × 2 - 1) × π
    -0.494369506835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.5531076107902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85558945} λ = 1.85558945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5531076107902))-π/2
    2×atan(0.211589413537601)-π/2
    2×0.208513987507142-π/2
    0.417027975014284-1.57079632675     		φ = -1.15376835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85558945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.317444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15376835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.106057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104245 KachelY 97935 1.85558945 -1.15376835 106.317444 -66.106057
    Oben rechts KachelX + 1 104246 KachelY 97935 1.85563738 -1.15376835 106.320190 -66.106057
    Unten links KachelX 104245 KachelY + 1 97936 1.85558945 -1.15378777 106.317444 -66.107170
    Unten rechts KachelX + 1 104246 KachelY + 1 97936 1.85563738 -1.15378777 106.320190 -66.107170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15376835--1.15378777) × R
    1.94200000001032e-05 × 6371000     		dl = 123.724820000658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15376835--1.15378777) × R
    1.94200000001032e-05 × 6371000     		dr = 123.724820000658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85558945-1.85563738) × cos(-1.15376835) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.405044934678853 × 6371000     		do = 123.685343494255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85558945-1.85563738) × cos(-1.15378777) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.405027178959019 × 6371000     		du = 123.679921571602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15376835)-sin(-1.15378777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405044934678853-0.405027178959019)×R²
    abs(1.85563738-1.85558945)×1.77557198342559e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.77557198342559e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.77557198342559e-05×40589641000000     		ar = 15302.6114478321m²