Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104234 / 99931
↖ ↑ ↗
← S 68.231730°
E106.287231°		 ← 113.27 m → S 68.231730°
E106.289978°		 →
↑
113.28 m
↓
↑
113.28 m
↓
S 68.232749°
E106.287231°		 ← 113.26 m →
12 830 m²		 S 68.232749°
E106.289978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795246124267578 y=0.762416839599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795246124267578 × 217)
    floor (0.795246124267578 × 131072)
    floor (104234.5)     		tx = 104234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762416839599609 × 217)
    floor (0.762416839599609 × 131072)
    floor (99931.5)     		ty = 99931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104234 / 99931 ti = "17/104234/99931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104234/99931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104234 ÷ 217
    104234 ÷ 131072     		x = 0.795242309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99931 ÷ 217
    99931 ÷ 131072     		y = 0.762413024902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795242309570312 × 2 - 1) × π
    0.590484619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.85506214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762413024902344 × 2 - 1) × π
    -0.524826049804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.64878966243183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85506214} λ = 1.85506214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64878966243183))-π/2
    2×atan(0.192282494565481)-π/2
    2×0.189963988698561-π/2
    0.379927977397122-1.57079632675     		φ = -1.19086835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85506214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.287231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19086835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.231730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104234 KachelY 99931 1.85506214 -1.19086835 106.287231 -68.231730
    Oben rechts KachelX + 1 104235 KachelY 99931 1.85511008 -1.19086835 106.289978 -68.231730
    Unten links KachelX 104234 KachelY + 1 99932 1.85506214 -1.19088613 106.287231 -68.232749
    Unten rechts KachelX + 1 104235 KachelY + 1 99932 1.85511008 -1.19088613 106.289978 -68.232749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19086835--1.19088613) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dl = 113.276380000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19086835--1.19088613) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dr = 113.276380000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85506214-1.85511008) × cos(-1.19086835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370853583047475 × 6371000     		do = 113.268230033852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85506214-1.85511008) × cos(-1.19088613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370837070856688 × 6371000     		du = 113.263186785762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19086835)-sin(-1.19088613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370853583047475-0.370837070856688)×R²
    abs(1.85511008-1.85506214)×1.65121907861887e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65121907861887e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65121907861887e-05×40589641000000     		ar = 12830.329427169m²