Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104232 / 99954
↖ ↑ ↗
← S 68.255145°
E106.281738°		 ← 113.13 m → S 68.255145°
E106.284485°		 →
↑
113.15 m
↓
↑
113.15 m
↓
S 68.256163°
E106.281738°		 ← 113.12 m →
12 800 m²		 S 68.256163°
E106.284485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795230865478516 y=0.762592315673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795230865478516 × 217)
    floor (0.795230865478516 × 131072)
    floor (104232.5)     		tx = 104232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762592315673828 × 217)
    floor (0.762592315673828 × 131072)
    floor (99954.5)     		ty = 99954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104232 / 99954 ti = "17/104232/99954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104232/99954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104232 ÷ 217
    104232 ÷ 131072     		x = 0.79522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99954 ÷ 217
    99954 ÷ 131072     		y = 0.762588500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79522705078125 × 2 - 1) × π
    0.5904541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.85496627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762588500976562 × 2 - 1) × π
    -0.525177001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64989221112309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85496627} λ = 1.85496627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64989221112309))-π/2
    2×atan(0.192070610580415)-π/2
    2×0.189759651268828-π/2
    0.379519302537656-1.57079632675     		φ = -1.19127702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85496627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.281738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19127702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.255145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104232 KachelY 99954 1.85496627 -1.19127702 106.281738 -68.255145
    Oben rechts KachelX + 1 104233 KachelY 99954 1.85501420 -1.19127702 106.284485 -68.255145
    Unten links KachelX 104232 KachelY + 1 99955 1.85496627 -1.19129478 106.281738 -68.256163
    Unten rechts KachelX + 1 104233 KachelY + 1 99955 1.85501420 -1.19129478 106.284485 -68.256163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19127702--1.19129478) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dl = 113.148959999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19127702--1.19129478) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dr = 113.148959999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85496627-1.85501420) × cos(-1.19127702) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.370474023796487 × 6371000     		do = 113.128699968833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85496627-1.85501420) × cos(-1.19129478) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.370457527489449 × 6371000     		du = 113.123662623028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19127702)-sin(-1.19129478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370474023796487-0.370457527489449)×R²
    abs(1.85501420-1.85496627)×1.64963070377055e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64963070377055e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64963070377055e-05×40589641000000     		ar = 12800.1097626168m²