Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104229 / 99925
↖ ↑ ↗
← S 68.225618°
E106.273499°		 ← 113.27 m → S 68.225618°
E106.276245°		 →
↑
113.28 m
↓
↑
113.28 m
↓
S 68.226637°
E106.273499°		 ← 113.27 m →
12 831 m²		 S 68.226637°
E106.276245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795207977294922 y=0.762371063232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795207977294922 × 217)
    floor (0.795207977294922 × 131072)
    floor (104229.5)     		tx = 104229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762371063232422 × 217)
    floor (0.762371063232422 × 131072)
    floor (99925.5)     		ty = 99925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104229 / 99925 ti = "17/104229/99925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104229/99925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104229 ÷ 217
    104229 ÷ 131072     		x = 0.795204162597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99925 ÷ 217
    99925 ÷ 131072     		y = 0.762367248535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795204162597656 × 2 - 1) × π
    0.590408325195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.85482246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762367248535156 × 2 - 1) × π
    -0.524734497070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.64850204103411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85482246} λ = 1.85482246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64850204103411))-π/2
    2×atan(0.192337807079475)-π/2
    2×0.190017328535018-π/2
    0.380034657070036-1.57079632675     		φ = -1.19076167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85482246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.273499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19076167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.225618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104229 KachelY 99925 1.85482246 -1.19076167 106.273499 -68.225618
    Oben rechts KachelX + 1 104230 KachelY 99925 1.85487039 -1.19076167 106.276245 -68.225618
    Unten links KachelX 104229 KachelY + 1 99926 1.85482246 -1.19077945 106.273499 -68.226637
    Unten rechts KachelX + 1 104230 KachelY + 1 99926 1.85487039 -1.19077945 106.276245 -68.226637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19076167--1.19077945) × R
    1.77799999998562e-05 × 6371000     		dl = 113.276379999084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19076167--1.19077945) × R
    1.77799999998562e-05 × 6371000     		dr = 113.276379999084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85482246-1.85487039) × cos(-1.19076167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.370952653730024 × 6371000     		do = 113.274855376957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85482246-1.85487039) × cos(-1.19077945) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37093614224274 × 6371000     		du = 113.269813395681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19076167)-sin(-1.19077945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370952653730024-0.37093614224274)×R²
    abs(1.85487039-1.85482246)×1.65114872835992e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65114872835992e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65114872835992e-05×40589641000000     		ar = 12831.079993743m²