Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104229 / 99265
↖ ↑ ↗
← S 67.543216°
E106.273499°		 ← 116.64 m → S 67.543216°
E106.276245°		 →
↑
116.72 m
↓
↑
116.72 m
↓
S 67.544265°
E106.273499°		 ← 116.64 m →
13 614 m²		 S 67.544265°
E106.276245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795207977294922 y=0.757335662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795207977294922 × 217)
    floor (0.795207977294922 × 131072)
    floor (104229.5)     		tx = 104229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757335662841797 × 217)
    floor (0.757335662841797 × 131072)
    floor (99265.5)     		ty = 99265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104229 / 99265 ti = "17/104229/99265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104229/99265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104229 ÷ 217
    104229 ÷ 131072     		x = 0.795204162597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99265 ÷ 217
    99265 ÷ 131072     		y = 0.757331848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795204162597656 × 2 - 1) × π
    0.590408325195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.85482246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757331848144531 × 2 - 1) × π
    -0.514663696289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.61686368728487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85482246} λ = 1.85482246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61686368728487))-π/2
    2×atan(0.198520345619258)-π/2
    2×0.195972411258139-π/2
    0.391944822516278-1.57079632675     		φ = -1.17885150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85482246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.273499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17885150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.543216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104229 KachelY 99265 1.85482246 -1.17885150 106.273499 -67.543216
    Oben rechts KachelX + 1 104230 KachelY 99265 1.85487039 -1.17885150 106.276245 -67.543216
    Unten links KachelX 104229 KachelY + 1 99266 1.85482246 -1.17886982 106.273499 -67.544265
    Unten rechts KachelX + 1 104230 KachelY + 1 99266 1.85487039 -1.17886982 106.276245 -67.544265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17885150--1.17886982) × R
    1.83200000001271e-05 × 6371000     		dl = 116.71672000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17885150--1.17886982) × R
    1.83200000001271e-05 × 6371000     		dr = 116.71672000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85482246-1.85487039) × cos(-1.17885150) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381986482908834 × 6371000     		do = 116.644167853673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85482246-1.85487039) × cos(-1.17886982) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381969552088612 × 6371000     		du = 116.638997824041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17885150)-sin(-1.17886982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381986482908834-0.381969552088612)×R²
    abs(1.85487039-1.85482246)×1.69308202219165e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69308202219165e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69308202219165e-05×40589641000000     		ar = 13614.0229651194m²