Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104228 / 99362
↖ ↑ ↗
← S 67.644766°
E106.270752°		 ← 116.17 m → S 67.644766°
E106.273499°		 →
↑
116.21 m
↓
↑
116.21 m
↓
S 67.645811°
E106.270752°		 ← 116.16 m →
13 499 m²		 S 67.645811°
E106.273499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795200347900391 y=0.758075714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795200347900391 × 217)
    floor (0.795200347900391 × 131072)
    floor (104228.5)     		tx = 104228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758075714111328 × 217)
    floor (0.758075714111328 × 131072)
    floor (99362.5)     		ty = 99362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104228 / 99362 ti = "17/104228/99362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104228/99362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104228 ÷ 217
    104228 ÷ 131072     		x = 0.795196533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99362 ÷ 217
    99362 ÷ 131072     		y = 0.758071899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795196533203125 × 2 - 1) × π
    0.59039306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.85477452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758071899414062 × 2 - 1) × π
    -0.516143798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62151356654802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85477452} λ = 1.85477452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62151356654802))-π/2
    2×atan(0.197599392799914)-π/2
    2×0.195086221681287-π/2
    0.390172443362574-1.57079632675     		φ = -1.18062388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85477452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.270752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18062388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.644766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104228 KachelY 99362 1.85477452 -1.18062388 106.270752 -67.644766
    Oben rechts KachelX + 1 104229 KachelY 99362 1.85482246 -1.18062388 106.273499 -67.644766
    Unten links KachelX 104228 KachelY + 1 99363 1.85477452 -1.18064212 106.270752 -67.645811
    Unten rechts KachelX + 1 104229 KachelY + 1 99363 1.85482246 -1.18064212 106.273499 -67.645811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18062388--1.18064212) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dl = 116.207039999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18062388--1.18064212) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dr = 116.207039999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85477452-1.85482246) × cos(-1.18062388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380347907072312 × 6371000     		do = 116.168040974936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85477452-1.85482246) × cos(-1.18064212) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380331037863898 × 6371000     		du = 116.162888684473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18062388)-sin(-1.18064212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380347907072312-0.380331037863898)×R²
    abs(1.85482246-1.85477452)×1.68692084144828e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68692084144828e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68692084144828e-05×40589641000000     		ar = 13499.2448184188m²