Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104226 / 99359
↖ ↑ ↗
← S 67.641631°
E106.265259°		 ← 116.16 m → S 67.641631°
E106.268005°		 →
↑
116.21 m
↓
↑
116.21 m
↓
S 67.642677°
E106.265259°		 ← 116.15 m →
13 498 m²		 S 67.642677°
E106.268005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795185089111328 y=0.758052825927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795185089111328 × 217)
    floor (0.795185089111328 × 131072)
    floor (104226.5)     		tx = 104226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758052825927734 × 217)
    floor (0.758052825927734 × 131072)
    floor (99359.5)     		ty = 99359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104226 / 99359 ti = "17/104226/99359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104226/99359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104226 ÷ 217
    104226 ÷ 131072     		x = 0.795181274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99359 ÷ 217
    99359 ÷ 131072     		y = 0.758049011230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795181274414062 × 2 - 1) × π
    0.590362548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.85467865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758049011230469 × 2 - 1) × π
    -0.516098022460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.62136975584916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85467865} λ = 1.85467865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62136975584916))-π/2
    2×atan(0.197627811750113)-π/2
    2×0.195113572549033-π/2
    0.390227145098066-1.57079632675     		φ = -1.18056918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85467865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.265259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18056918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.641631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104226 KachelY 99359 1.85467865 -1.18056918 106.265259 -67.641631
    Oben rechts KachelX + 1 104227 KachelY 99359 1.85472658 -1.18056918 106.268005 -67.641631
    Unten links KachelX 104226 KachelY + 1 99360 1.85467865 -1.18058742 106.265259 -67.642677
    Unten rechts KachelX + 1 104227 KachelY + 1 99360 1.85472658 -1.18058742 106.268005 -67.642677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18056918--1.18058742) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dl = 116.207039999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18056918--1.18058742) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dr = 116.207039999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85467865-1.85472658) × cos(-1.18056918) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.380398495441835 × 6371000     		do = 116.159256776597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85467865-1.85472658) × cos(-1.18058742) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.380381626612921 × 6371000     		du = 116.154105676757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18056918)-sin(-1.18058742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380398495441835-0.380381626612921)×R²
    abs(1.85472658-1.85467865)×1.68688289139407e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.68688289139407e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.68688289139407e-05×40589641000000     		ar = 13498.2241019326m²