Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104226 / 97589
↖ ↑ ↗
← S 65.718205°
E106.265259°		 ← 125.57 m → S 65.718205°
E106.268005°		 →
↑
125.57 m
↓
↑
125.57 m
↓
S 65.719335°
E106.265259°		 ← 125.57 m →
15 768 m²		 S 65.719335°
E106.268005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795185089111328 y=0.744548797607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795185089111328 × 217)
    floor (0.795185089111328 × 131072)
    floor (104226.5)     		tx = 104226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744548797607422 × 217)
    floor (0.744548797607422 × 131072)
    floor (97589.5)     		ty = 97589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104226 / 97589 ti = "17/104226/97589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104226/97589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104226 ÷ 217
    104226 ÷ 131072     		x = 0.795181274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97589 ÷ 217
    97589 ÷ 131072     		y = 0.744544982910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795181274414062 × 2 - 1) × π
    0.590362548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.85467865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744544982910156 × 2 - 1) × π
    -0.489089965820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.53652144352166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85467865} λ = 1.85467865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53652144352166))-π/2
    2×atan(0.215128136745171)-π/2
    2×0.211898632117781-π/2
    0.423797264235561-1.57079632675     		φ = -1.14699906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85467865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.265259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14699906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.718205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104226 KachelY 97589 1.85467865 -1.14699906 106.265259 -65.718205
    Oben rechts KachelX + 1 104227 KachelY 97589 1.85472658 -1.14699906 106.268005 -65.718205
    Unten links KachelX 104226 KachelY + 1 97590 1.85467865 -1.14701877 106.265259 -65.719335
    Unten rechts KachelX + 1 104227 KachelY + 1 97590 1.85472658 -1.14701877 106.268005 -65.719335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14699906--1.14701877) × R
    1.97100000001171e-05 × 6371000     		dl = 125.572410000746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14699906--1.14701877) × R
    1.97100000001171e-05 × 6371000     		dr = 125.572410000746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85467865-1.85472658) × cos(-1.14699906) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.411224747247526 × 6371000     		do = 125.572423605237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85467865-1.85472658) × cos(-1.14701877) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.41120678083279 × 6371000     		du = 125.566937344361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14699906)-sin(-1.14701877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411224747247526-0.41120678083279)×R²
    abs(1.85472658-1.85467865)×1.79664147360037e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.79664147360037e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.79664147360037e-05×40589641000000     		ar = 15768.0874007511m²