Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104225 / 99365
↖ ↑ ↗
← S 67.647900°
E106.262512°		 ← 116.15 m → S 67.647900°
E106.265259°		 →
↑
116.14 m
↓
↑
116.14 m
↓
S 67.648944°
E106.262512°		 ← 116.15 m →
13 490 m²		 S 67.648944°
E106.265259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795177459716797 y=0.758098602294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795177459716797 × 217)
    floor (0.795177459716797 × 131072)
    floor (104225.5)     		tx = 104225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758098602294922 × 217)
    floor (0.758098602294922 × 131072)
    floor (99365.5)     		ty = 99365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104225 / 99365 ti = "17/104225/99365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104225/99365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104225 ÷ 217
    104225 ÷ 131072     		x = 0.795173645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99365 ÷ 217
    99365 ÷ 131072     		y = 0.758094787597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795173645019531 × 2 - 1) × π
    0.590347290039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.85463071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758094787597656 × 2 - 1) × π
    -0.516189575195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.62165737724688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85463071} λ = 1.85463071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62165737724688))-π/2
    2×atan(0.197570977936371)-π/2
    2×0.195058874451029-π/2
    0.390117748902059-1.57079632675     		φ = -1.18067858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85463071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.262512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18067858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.647900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104225 KachelY 99365 1.85463071 -1.18067858 106.262512 -67.647900
    Oben rechts KachelX + 1 104226 KachelY 99365 1.85467865 -1.18067858 106.265259 -67.647900
    Unten links KachelX 104225 KachelY + 1 99366 1.85463071 -1.18069681 106.262512 -67.648944
    Unten rechts KachelX + 1 104226 KachelY + 1 99366 1.85467865 -1.18069681 106.265259 -67.648944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18067858--1.18069681) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18067858--1.18069681) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85463071-1.85467865) × cos(-1.18067858) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.380297317564754 × 6371000     		do = 116.152589637692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85463071-1.85467865) × cos(-1.18069681) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.380280457225602 × 6371000     		du = 116.14744005613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18067858)-sin(-1.18069681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380297317564754-0.380280457225602)×R²
    abs(1.85467865-1.85463071)×1.68603391524913e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.68603391524913e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.68603391524913e-05×40589641000000     		ar = 13490.04950441m²