Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104223 / 99363
↖ ↑ ↗
← S 67.645811°
E106.257019°		 ← 116.14 m → S 67.645811°
E106.259765°		 →
↑
116.14 m
↓
↑
116.14 m
↓
S 67.646855°
E106.257019°		 ← 116.13 m →
13 488 m²		 S 67.646855°
E106.259765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795162200927734 y=0.758083343505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795162200927734 × 217)
    floor (0.795162200927734 × 131072)
    floor (104223.5)     		tx = 104223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758083343505859 × 217)
    floor (0.758083343505859 × 131072)
    floor (99363.5)     		ty = 99363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104223 / 99363 ti = "17/104223/99363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104223/99363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104223 ÷ 217
    104223 ÷ 131072     		x = 0.795158386230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99363 ÷ 217
    99363 ÷ 131072     		y = 0.758079528808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795158386230469 × 2 - 1) × π
    0.590316772460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.85453484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758079528808594 × 2 - 1) × π
    -0.516159057617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.62156150344764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85453484} λ = 1.85453484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62156150344764))-π/2
    2×atan(0.197589920724689)-π/2
    2×0.195077105533722-π/2
    0.390154211067444-1.57079632675     		φ = -1.18064212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85453484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.257019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18064212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.645811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104223 KachelY 99363 1.85453484 -1.18064212 106.257019 -67.645811
    Oben rechts KachelX + 1 104224 KachelY 99363 1.85458277 -1.18064212 106.259765 -67.645811
    Unten links KachelX 104223 KachelY + 1 99364 1.85453484 -1.18066035 106.257019 -67.646855
    Unten rechts KachelX + 1 104224 KachelY + 1 99364 1.85458277 -1.18066035 106.259765 -67.646855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18064212--1.18066035) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18064212--1.18066035) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85453484-1.85458277) × cos(-1.18064212) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.380331037863898 × 6371000     		do = 116.138657794198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85453484-1.85458277) × cos(-1.18066035) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.380314177777521 × 6371000     		du = 116.133509363996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18064212)-sin(-1.18066035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380331037863898-0.380314177777521)×R²
    abs(1.85458277-1.85453484)×1.68600863762469e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68600863762469e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68600863762469e-05×40589641000000     		ar = 13488.4314804092m²