Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104221 / 98141
↖ ↑ ↗
← S 66.334198°
E106.251526°		 ← 122.60 m → S 66.334198°
E106.254273°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
S 66.335300°
E106.251526°		 ← 122.59 m →
15 028 m²		 S 66.335300°
E106.254273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795146942138672 y=0.748760223388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795146942138672 × 217)
    floor (0.795146942138672 × 131072)
    floor (104221.5)     		tx = 104221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748760223388672 × 217)
    floor (0.748760223388672 × 131072)
    floor (98141.5)     		ty = 98141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104221 / 98141 ti = "17/104221/98141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104221/98141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104221 ÷ 217
    104221 ÷ 131072     		x = 0.795143127441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98141 ÷ 217
    98141 ÷ 131072     		y = 0.748756408691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795143127441406 × 2 - 1) × π
    0.590286254882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.85443896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748756408691406 × 2 - 1) × π
    -0.497512817382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.56298261211193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85443896} λ = 1.85443896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56298261211193))-π/2
    2×atan(0.209510250563694)-π/2
    2×0.206523084319327-π/2
    0.413046168638655-1.57079632675     		φ = -1.15775016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85443896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.251526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15775016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.334198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104221 KachelY 98141 1.85443896 -1.15775016 106.251526 -66.334198
    Oben rechts KachelX + 1 104222 KachelY 98141 1.85448690 -1.15775016 106.254273 -66.334198
    Unten links KachelX 104221 KachelY + 1 98142 1.85443896 -1.15776940 106.251526 -66.335300
    Unten rechts KachelX + 1 104222 KachelY + 1 98142 1.85448690 -1.15776940 106.254273 -66.335300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15775016--1.15776940) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dl = 122.578040000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15775016--1.15776940) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dr = 122.578040000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85443896-1.85448690) × cos(-1.15775016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40140117728839 × 6371000     		do = 122.598251610097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85443896-1.85448690) × cos(-1.15776940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401383555253091 × 6371000     		du = 122.592869386926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15775016)-sin(-1.15776940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40140117728839-0.401383555253091)×R²
    abs(1.85448690-1.85443896)×1.76220352992029e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76220352992029e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76220352992029e-05×40589641000000     		ar = 15027.5235191106m²