Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104220 / 99108
↖ ↑ ↗
← S 67.377924°
E106.248779°		 ← 117.48 m → S 67.377924°
E106.251526°		 →
↑
117.48 m
↓
↑
117.48 m
↓
S 67.378981°
E106.248779°		 ← 117.48 m →
13 802 m²		 S 67.378981°
E106.251526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795139312744141 y=0.756137847900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795139312744141 × 217)
    floor (0.795139312744141 × 131072)
    floor (104220.5)     		tx = 104220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756137847900391 × 217)
    floor (0.756137847900391 × 131072)
    floor (99108.5)     		ty = 99108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104220 / 99108 ti = "17/104220/99108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104220/99108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104220 ÷ 217
    104220 ÷ 131072     		x = 0.795135498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99108 ÷ 217
    99108 ÷ 131072     		y = 0.756134033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795135498046875 × 2 - 1) × π
    0.59027099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.85439102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756134033203125 × 2 - 1) × π
    -0.51226806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60933759404453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85439102} λ = 1.85439102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60933759404453))-π/2
    2×atan(0.200020064684327)-π/2
    2×0.197414852741134-π/2
    0.394829705482267-1.57079632675     		φ = -1.17596662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85439102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.248779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17596662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.377924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104220 KachelY 99108 1.85439102 -1.17596662 106.248779 -67.377924
    Oben rechts KachelX + 1 104221 KachelY 99108 1.85443896 -1.17596662 106.251526 -67.377924
    Unten links KachelX 104220 KachelY + 1 99109 1.85439102 -1.17598506 106.248779 -67.378981
    Unten rechts KachelX + 1 104221 KachelY + 1 99109 1.85443896 -1.17598506 106.251526 -67.378981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17596662--1.17598506) × R
    1.84399999998419e-05 × 6371000     		dl = 117.481239998993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17596662--1.17598506) × R
    1.84399999998419e-05 × 6371000     		dr = 117.481239998993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85439102-1.85443896) × cos(-1.17596662) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384651003186084 × 6371000     		do = 117.482317289775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85439102-1.85443896) × cos(-1.17598506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384633981855911 × 6371000     		du = 117.477118537411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17596662)-sin(-1.17598506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384651003186084-0.384633981855911)×R²
    abs(1.85443896-1.85439102)×1.70213301733391e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70213301733391e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70213301733391e-05×40589641000000     		ar = 13801.6629355005m²