Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10422 / 6253
↖ ↑ ↗
← N 81.000030°
W122.750244°		 ← 95.56 m → N 81.000030°
W122.744751°		 →
↑
95.57 m
↓
↑
95.57 m
↓
N 80.999171°
W122.750244°		 ← 95.57 m →
9 132 m²		 N 80.999171°
W122.744751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159034729003906 y=0.0954208374023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159034729003906 × 216)
    floor (0.159034729003906 × 65536)
    floor (10422.5)     		tx = 10422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0954208374023438 × 216)
    floor (0.0954208374023438 × 65536)
    floor (6253.5)     		ty = 6253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10422 / 6253 ti = "16/10422/6253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10422/6253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10422 ÷ 216
    10422 ÷ 65536     		x = 0.159027099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6253 ÷ 216
    6253 ÷ 65536     		y = 0.0954132080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159027099609375 × 2 - 1) × π
    -0.68194580078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14239592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0954132080078125 × 2 - 1) × π
    0.809173583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54209378685158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14239592} λ = -2.14239592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54209378685158))-π/2
    2×atan(12.7062473120828)-π/2
    2×1.49225677254432-π/2
    2.98451354508864-1.57079632675     		φ = 1.41371722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14239592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.750244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41371722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.000030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10422 KachelY 6253 -2.14239592 1.41371722 -122.750244 81.000030
    Oben rechts KachelX + 1 10423 KachelY 6253 -2.14230004 1.41371722 -122.744751 81.000030
    Unten links KachelX 10422 KachelY + 1 6254 -2.14239592 1.41370222 -122.750244 80.999171
    Unten rechts KachelX + 1 10423 KachelY + 1 6254 -2.14230004 1.41370222 -122.744751 80.999171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41371722-1.41370222) × R
    1.50000000000983e-05 × 6371000     		dl = 95.5650000006261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41371722-1.41370222) × R
    1.50000000000983e-05 × 6371000     		dr = 95.5650000006261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14239592--2.14230004) × cos(1.41371722) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156433945630128 × 6371000     		do = 95.5579072103406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14239592--2.14230004) × cos(1.41370222) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156448760938872 × 6371000     		du = 95.5669571636133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41371722)-sin(1.41370222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156433945630128-0.156448760938872)×R²
    abs(-2.14230004--2.14239592)×1.48153087436431e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.48153087436431e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.48153087436431e-05×40589641000000     		ar = 9132.42383206844m²