Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10422 / 2566
↖ ↑ ↗
← N 76.810770°
E 48.999023°		 ← 557.46 m → N 76.810770°
E 49.020996°		 →
↑
557.59 m
↓
↑
557.59 m
↓
N 76.805755°
E 48.999023°		 ← 557.67 m →
310 894 m²		 N 76.805755°
E 49.020996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636138916015625 y=0.156646728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636138916015625 × 214)
    floor (0.636138916015625 × 16384)
    floor (10422.5)     		tx = 10422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156646728515625 × 214)
    floor (0.156646728515625 × 16384)
    floor (2566.5)     		ty = 2566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10422 / 2566 ti = "14/10422/2566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10422/2566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10422 ÷ 214
    10422 ÷ 16384     		x = 0.6361083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2566 ÷ 214
    2566 ÷ 16384     		y = 0.1566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6361083984375 × 2 - 1) × π
    0.272216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85519429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1566162109375 × 2 - 1) × π
    0.686767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15754397809949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85519429} λ = 0.85519429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15754397809949))-π/2
    2×atan(8.64986728541491)-π/2
    2×1.45569857655127-π/2
    2.91139715310254-1.57079632675     		φ = 1.34060083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85519429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.999023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34060083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.810770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10422 KachelY 2566 0.85519429 1.34060083 48.999023 76.810770
    Oben rechts KachelX + 1 10423 KachelY 2566 0.85557778 1.34060083 49.020996 76.810770
    Unten links KachelX 10422 KachelY + 1 2567 0.85519429 1.34051331 48.999023 76.805755
    Unten rechts KachelX + 1 10423 KachelY + 1 2567 0.85557778 1.34051331 49.020996 76.805755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34060083-1.34051331) × R
    8.75200000001186e-05 × 6371000     		dl = 557.589920000756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34060083-1.34051331) × R
    8.75200000001186e-05 × 6371000     		dr = 557.589920000756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85519429-0.85557778) × cos(1.34060083) × R
    0.000383489999999931 × 0.228167867836962 × 6371000     		do = 557.46310930193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85519429-0.85557778) × cos(1.34051331) × R
    0.000383489999999931 × 0.228253078343593 × 6371000     		du = 557.671296871995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34060083)-sin(1.34051331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228167867836962-0.228253078343593)×R²
    abs(0.85557778-0.85519429)×8.5210506631378e-05×R²
    0.000383489999999931×8.5210506631378e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.5210506631378e-05×40589641000000     		ar = 310893.852362514m²