Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10422 / 2563
↖ ↑ ↗
← N 76.825801°
E 48.999023°		 ← 556.84 m → N 76.825801°
E 49.020996°		 →
↑
556.95 m
↓
↑
556.95 m
↓
N 76.820792°
E 48.999023°		 ← 557.05 m →
310 191 m²		 N 76.820792°
E 49.020996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636138916015625 y=0.156463623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636138916015625 × 214)
    floor (0.636138916015625 × 16384)
    floor (10422.5)     		tx = 10422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156463623046875 × 214)
    floor (0.156463623046875 × 16384)
    floor (2563.5)     		ty = 2563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10422 / 2563 ti = "14/10422/2563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10422/2563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10422 ÷ 214
    10422 ÷ 16384     		x = 0.6361083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2563 ÷ 214
    2563 ÷ 16384     		y = 0.15643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6361083984375 × 2 - 1) × π
    0.272216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85519429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15643310546875 × 2 - 1) × π
    0.6871337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15869446369037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85519429} λ = 0.85519429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15869446369037))-π/2
    2×atan(8.65982455984189)-π/2
    2×1.45582975499127-π/2
    2.91165950998254-1.57079632675     		φ = 1.34086318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85519429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.999023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34086318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.825801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10422 KachelY 2563 0.85519429 1.34086318 48.999023 76.825801
    Oben rechts KachelX + 1 10423 KachelY 2563 0.85557778 1.34086318 49.020996 76.825801
    Unten links KachelX 10422 KachelY + 1 2564 0.85519429 1.34077576 48.999023 76.820792
    Unten rechts KachelX + 1 10423 KachelY + 1 2564 0.85557778 1.34077576 49.020996 76.820792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34086318-1.34077576) × R
    8.74199999998382e-05 × 6371000     		dl = 556.952819998969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34086318-1.34077576) × R
    8.74199999998382e-05 × 6371000     		dr = 556.952819998969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85519429-0.85557778) × cos(1.34086318) × R
    0.000383489999999931 × 0.227912430306574 × 6371000     		do = 556.839020549764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85519429-0.85557778) × cos(1.34077576) × R
    0.000383489999999931 × 0.227997548684014 × 6371000     		du = 557.046983028428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34086318)-sin(1.34077576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227912430306574-0.227997548684014)×R²
    abs(0.85557778-0.85519429)×8.51183774406572e-05×R²
    0.000383489999999931×8.51183774406572e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.51183774406572e-05×40589641000000     		ar = 310190.975622669m²