Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104210 / 99943
↖ ↑ ↗
← S 68.243950°
E106.221314°		 ← 113.18 m → S 68.243950°
E106.224060°		 →
↑
113.21 m
↓
↑
113.21 m
↓
S 68.244968°
E106.221314°		 ← 113.18 m →
12 814 m²		 S 68.244968°
E106.224060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795063018798828 y=0.762508392333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795063018798828 × 217)
    floor (0.795063018798828 × 131072)
    floor (104210.5)     		tx = 104210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762508392333984 × 217)
    floor (0.762508392333984 × 131072)
    floor (99943.5)     		ty = 99943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104210 / 99943 ti = "17/104210/99943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104210/99943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104210 ÷ 217
    104210 ÷ 131072     		x = 0.795059204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99943 ÷ 217
    99943 ÷ 131072     		y = 0.762504577636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795059204101562 × 2 - 1) × π
    0.590118408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.85391166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762504577636719 × 2 - 1) × π
    -0.525009155273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.64936490522727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85391166} λ = 1.85391166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64936490522727))-π/2
    2×atan(0.192171917253243)-π/2
    2×0.189857351759792-π/2
    0.379714703519585-1.57079632675     		φ = -1.19108162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85391166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.221314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19108162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.243950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104210 KachelY 99943 1.85391166 -1.19108162 106.221314 -68.243950
    Oben rechts KachelX + 1 104211 KachelY 99943 1.85395959 -1.19108162 106.224060 -68.243950
    Unten links KachelX 104210 KachelY + 1 99944 1.85391166 -1.19109939 106.221314 -68.244968
    Unten rechts KachelX + 1 104211 KachelY + 1 99944 1.85395959 -1.19109939 106.224060 -68.244968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19108162--1.19109939) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dl = 113.212669999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19108162--1.19109939) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dr = 113.212669999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85391166-1.85395959) × cos(-1.19108162) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.370655512611208 × 6371000     		do = 113.184119761718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85391166-1.85395959) × cos(-1.19109939) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.370639008302344 × 6371000     		du = 113.17907997246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19108162)-sin(-1.19109939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370655512611208-0.370639008302344)×R²
    abs(1.85395959-1.85391166)×1.65043088638517e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65043088638517e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65043088638517e-05×40589641000000     		ar = 12813.5911159611m²