Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10421 / 2567
↖ ↑ ↗
← N 76.805755°
E 48.977051°		 ← 557.69 m → N 76.805755°
E 48.999023°		 →
↑
557.78 m
↓
↑
557.78 m
↓
N 76.800739°
E 48.977051°		 ← 557.89 m →
311 125 m²		 N 76.800739°
E 48.999023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636077880859375 y=0.156707763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636077880859375 × 214)
    floor (0.636077880859375 × 16384)
    floor (10421.5)     		tx = 10421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156707763671875 × 214)
    floor (0.156707763671875 × 16384)
    floor (2567.5)     		ty = 2567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10421 / 2567 ti = "14/10421/2567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10421/2567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10421 ÷ 214
    10421 ÷ 16384     		x = 0.63604736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2567 ÷ 214
    2567 ÷ 16384     		y = 0.15667724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63604736328125 × 2 - 1) × π
    0.2720947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.85481079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15667724609375 × 2 - 1) × π
    0.6866455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15716048290253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85481079} λ = 0.85481079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15716048290253))-π/2
    2×atan(8.6465507388371)-π/2
    2×1.45565481774112-π/2
    2.91130963548224-1.57079632675     		φ = 1.34051331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85481079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.977051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34051331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.805755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10421 KachelY 2567 0.85481079 1.34051331 48.977051 76.805755
    Oben rechts KachelX + 1 10422 KachelY 2567 0.85519429 1.34051331 48.999023 76.805755
    Unten links KachelX 10421 KachelY + 1 2568 0.85481079 1.34042576 48.977051 76.800739
    Unten rechts KachelX + 1 10422 KachelY + 1 2568 0.85519429 1.34042576 48.999023 76.800739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34051331-1.34042576) × R
    8.75499999999363e-05 × 6371000     		dl = 557.781049999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34051331-1.34042576) × R
    8.75499999999363e-05 × 6371000     		dr = 557.781049999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85481079-0.85519429) × cos(1.34051331) × R
    0.000383499999999981 × 0.228253078343593 × 6371000     		do = 557.685838875689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85481079-0.85519429) × cos(1.34042576) × R
    0.000383499999999981 × 0.228338316309318 × 6371000     		du = 557.894098964729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34051331)-sin(1.34042576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228253078343593-0.228338316309318)×R²
    abs(0.85519429-0.85481079)×8.52379657251268e-05×R²
    0.000383499999999981×8.52379657251268e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.52379657251268e-05×40589641000000     		ar = 311124.674741761m²