Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104209 / 97487
↖ ↑ ↗
← S 65.602743°
E106.218567°		 ← 126.16 m → S 65.602743°
E106.221314°		 →
↑
126.15 m
↓
↑
126.15 m
↓
S 65.603878°
E106.218567°		 ← 126.15 m →
15 914 m²		 S 65.603878°
E106.221314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795055389404297 y=0.743770599365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795055389404297 × 217)
    floor (0.795055389404297 × 131072)
    floor (104209.5)     		tx = 104209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743770599365234 × 217)
    floor (0.743770599365234 × 131072)
    floor (97487.5)     		ty = 97487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104209 / 97487 ti = "17/104209/97487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104209/97487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104209 ÷ 217
    104209 ÷ 131072     		x = 0.795051574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97487 ÷ 217
    97487 ÷ 131072     		y = 0.743766784667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795051574707031 × 2 - 1) × π
    0.590103149414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.85386372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743766784667969 × 2 - 1) × π
    -0.487533569335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.53163187976041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85386372} λ = 1.85386372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53163187976041))-π/2
    2×atan(0.216182595306993)-π/2
    2×0.212906230009014-π/2
    0.425812460018029-1.57079632675     		φ = -1.14498387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85386372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.218567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14498387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.602743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104209 KachelY 97487 1.85386372 -1.14498387 106.218567 -65.602743
    Oben rechts KachelX + 1 104210 KachelY 97487 1.85391166 -1.14498387 106.221314 -65.602743
    Unten links KachelX 104209 KachelY + 1 97488 1.85386372 -1.14500367 106.218567 -65.603878
    Unten rechts KachelX + 1 104210 KachelY + 1 97488 1.85391166 -1.14500367 106.221314 -65.603878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14498387--1.14500367) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dl = 126.145800000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14498387--1.14500367) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dr = 126.145800000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85386372-1.85391166) × cos(-1.14498387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413060825187408 × 6371000     		do = 126.159408197792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85386372-1.85391166) × cos(-1.14500367) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413042793178339 × 6371000     		du = 126.153900758078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14498387)-sin(-1.14500367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413060825187408-0.413042793178339)×R²
    abs(1.85391166-1.85386372)×1.80320090688579e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80320090688579e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80320090688579e-05×40589641000000     		ar = 15914.1321050347m²