Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 104207 / 99321
↖ ↑ ↗
← S 67.601896°
E106.213074°		 ← 116.36 m → S 67.601896°
E106.215820°		 →
↑
116.40 m
↓
↑
116.40 m
↓
S 67.602942°
E106.213074°		 ← 116.35 m →
13 543 m²		 S 67.602942°
E106.215820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795040130615234 y=0.757762908935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795040130615234 × 217)
    floor (0.795040130615234 × 131072)
    floor (104207.5)     		tx = 104207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757762908935547 × 217)
    floor (0.757762908935547 × 131072)
    floor (99321.5)     		ty = 99321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104207 / 99321 ti = "17/104207/99321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104207/99321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104207 ÷ 217
    104207 ÷ 131072     		x = 0.795036315917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99321 ÷ 217
    99321 ÷ 131072     		y = 0.757759094238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795036315917969 × 2 - 1) × π
    0.590072631835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.85376785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757759094238281 × 2 - 1) × π
    -0.515518188476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.6195481536636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85376785} λ = 1.85376785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6195481536636))-π/2
    2×atan(0.197988139090823)-π/2
    2×0.195460331888795-π/2
    0.390920663777591-1.57079632675     		φ = -1.17987566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85376785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.213074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17987566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.601896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104207 KachelY 99321 1.85376785 -1.17987566 106.213074 -67.601896
    Oben rechts KachelX + 1 104208 KachelY 99321 1.85381578 -1.17987566 106.215820 -67.601896
    Unten links KachelX 104207 KachelY + 1 99322 1.85376785 -1.17989393 106.213074 -67.602942
    Unten rechts KachelX + 1 104208 KachelY + 1 99322 1.85381578 -1.17989393 106.215820 -67.602942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17987566--1.17989393) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dl = 116.398169999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17987566--1.17989393) × R
    1.82699999999869e-05 × 6371000     		dr = 116.398169999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85376785-1.85381578) × cos(-1.17987566) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.381039786933537 × 6371000     		do = 116.355082848324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85376785-1.85381578) × cos(-1.17989393) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.381022895183571 × 6371000     		du = 116.349924749265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17987566)-sin(-1.17989393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381039786933537-0.381022895183571)×R²
    abs(1.85381578-1.85376785)×1.6891749965553e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.6891749965553e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.6891749965553e-05×40589641000000     		ar = 13543.2185175495m²