Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 104206 / 99910
↖ ↑ ↗
← S 68.210330°
E106.210327°		 ← 113.37 m → S 68.210330°
E106.213074°		 →
↑
113.34 m
↓
↑
113.34 m
↓
S 68.211350°
E106.210327°		 ← 113.37 m →
12 850 m²		 S 68.211350°
E106.213074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 104206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795032501220703 y=0.762256622314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795032501220703 × 217)
    floor (0.795032501220703 × 131072)
    floor (104206.5)     		tx = 104206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762256622314453 × 217)
    floor (0.762256622314453 × 131072)
    floor (99910.5)     		ty = 99910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 104206 / 99910 ti = "17/104206/99910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/104206/99910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 104206 ÷ 217
    104206 ÷ 131072     		x = 0.795028686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99910 ÷ 217
    99910 ÷ 131072     		y = 0.762252807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795028686523438 × 2 - 1) × π
    0.590057373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.85371991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762252807617188 × 2 - 1) × π
    -0.524505615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64778298753981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85371991} λ = 1.85371991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64778298753981))-π/2
    2×atan(0.192476157986633)-π/2
    2×0.190150740472444-π/2
    0.380301480944888-1.57079632675     		φ = -1.19049485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85371991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.210327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19049485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.210330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 104206 KachelY 99910 1.85371991 -1.19049485 106.210327 -68.210330
    Oben rechts KachelX + 1 104207 KachelY 99910 1.85376785 -1.19049485 106.213074 -68.210330
    Unten links KachelX 104206 KachelY + 1 99911 1.85371991 -1.19051264 106.210327 -68.211350
    Unten rechts KachelX + 1 104207 KachelY + 1 99911 1.85376785 -1.19051264 106.213074 -68.211350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19049485--1.19051264) × R
    1.77899999997955e-05 × 6371000     		dl = 113.340089998697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19049485--1.19051264) × R
    1.77899999997955e-05 × 6371000     		dr = 113.340089998697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85371991-1.85376785) × cos(-1.19049485) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.371200423390452 × 6371000     		do = 113.374164002793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85371991-1.85376785) × cos(-1.19051264) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.371183904377944 × 6371000     		du = 113.369118671174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19049485)-sin(-1.19051264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371200423390452-0.371183904377944)×R²
    abs(1.85376785-1.85371991)×1.65190125071546e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.65190125071546e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.65190125071546e-05×40589641000000     		ar = 12849.552032784m²