Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1042 / 3118
↖ ↑ ↗
← N 39.436193°
W134.208984°		 ← 3 774 m → N 39.436193°
W134.165039°		 →
↑
3 774.88 m
↓
↑
3 774.88 m
↓
N 39.402245°
W134.208984°		 ← 3 775.84 m →
14 249 862 m²		 N 39.402245°
W134.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12725830078125 y=0.38067626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12725830078125 × 213)
    floor (0.12725830078125 × 8192)
    floor (1042.5)     		tx = 1042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38067626953125 × 213)
    floor (0.38067626953125 × 8192)
    floor (3118.5)     		ty = 3118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1042 / 3118 ti = "13/1042/3118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1042/3118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1042 ÷ 213
    1042 ÷ 8192     		x = 0.127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3118 ÷ 213
    3118 ÷ 8192     		y = 0.380615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.74560546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34238866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380615234375 × 2 - 1) × π
    0.23876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.750116605254639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34238866} λ = -2.34238866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.750116605254639))-π/2
    2×atan(2.11724688433144)-π/2
    2×1.12954386953415-π/2
    2.25908773906831-1.57079632675     		φ = 0.68829141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34238866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.208984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68829141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.436193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1042 KachelY 3118 -2.34238866 0.68829141 -134.208984 39.436193
    Oben rechts KachelX + 1 1043 KachelY 3118 -2.34162167 0.68829141 -134.165039 39.436193
    Unten links KachelX 1042 KachelY + 1 3119 -2.34238866 0.68769890 -134.208984 39.402245
    Unten rechts KachelX + 1 1043 KachelY + 1 3119 -2.34162167 0.68769890 -134.165039 39.402245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68829141-0.68769890) × R
    0.000592510000000046 × 6371000     		dl = 3774.88121000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68829141-0.68769890) × R
    0.000592510000000046 × 6371000     		dr = 3774.88121000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34238866--2.34162167) × cos(0.68829141) × R
    0.000766990000000245 × 0.772332469790943 × 6371000     		do = 3773.99743128377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34238866--2.34162167) × cos(0.68769890) × R
    0.000766990000000245 × 0.772708707517946 × 6371000     		du = 3775.83591441222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68829141)-sin(0.68769890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772332469790943-0.772708707517946)×R²
    abs(-2.34162167--2.34238866)×0.000376237727003459×R²
    0.000766990000000245×0.000376237727003459×6371000²
    0.000766990000000245×0.000376237727003459×40589641000000     		ar = 14249862.4345385m²