Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1042 / 3115
↖ ↑ ↗
← N 39.537940°
W134.208984°		 ← 3 768.48 m → N 39.537940°
W134.165039°		 →
↑
3 769.40 m
↓
↑
3 769.40 m
↓
N 39.504041°
W134.208984°		 ← 3 770.32 m →
14 208 382 m²		 N 39.504041°
W134.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12725830078125 y=0.38031005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12725830078125 × 213)
    floor (0.12725830078125 × 8192)
    floor (1042.5)     		tx = 1042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38031005859375 × 213)
    floor (0.38031005859375 × 8192)
    floor (3115.5)     		ty = 3115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1042 / 3115 ti = "13/1042/3115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1042/3115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1042 ÷ 213
    1042 ÷ 8192     		x = 0.127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3115 ÷ 213
    3115 ÷ 8192     		y = 0.3802490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.74560546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34238866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3802490234375 × 2 - 1) × π
    0.239501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.752417576436401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34238866} λ = -2.34238866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.752417576436401))-π/2
    2×atan(2.12212421754664)-π/2
    2×1.13043177739338-π/2
    2.26086355478677-1.57079632675     		φ = 0.69006723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34238866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.208984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69006723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.537940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1042 KachelY 3115 -2.34238866 0.69006723 -134.208984 39.537940
    Oben rechts KachelX + 1 1043 KachelY 3115 -2.34162167 0.69006723 -134.165039 39.537940
    Unten links KachelX 1042 KachelY + 1 3116 -2.34238866 0.68947558 -134.208984 39.504041
    Unten rechts KachelX + 1 1043 KachelY + 1 3116 -2.34162167 0.68947558 -134.165039 39.504041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69006723-0.68947558) × R
    0.000591650000000055 × 6371000     		dl = 3769.40215000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69006723-0.68947558) × R
    0.000591650000000055 × 6371000     		dr = 3769.40215000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34238866--2.34162167) × cos(0.69006723) × R
    0.000766990000000245 × 0.771203218859411 × 6371000     		do = 3768.47935418412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34238866--2.34162167) × cos(0.68947558) × R
    0.000766990000000245 × 0.771579721758282 × 6371000     		du = 3770.31913307312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69006723)-sin(0.68947558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771203218859411-0.771579721758282)×R²
    abs(-2.34162167--2.34238866)×0.000376502898871478×R²
    0.000766990000000245×0.000376502898871478×6371000²
    0.000766990000000245×0.000376502898871478×40589641000000     		ar = 14208382.0276112m²